Решение Задания 11: Нахождение Точек Пересечения Графиков

Задание 11. Решение: 1. Определим коэффициенты функции \(g(x) = \frac{p}{x}\). Гипербола проходит через точку \(M(1; 2)\). Подставим её координаты в уравнение: \[2 = \frac{p}{1} \Rightarrow p = 2\] Таким образом, \(g(x) = \frac{2}{x}\). 2. Определим коэффициенты функции \(f(x) = kx + b\). Прямая проходит через точки \(M(1; 2)\) и точку на оси \(Oy\) с координатами \((0; -3)\). Из второй точки сразу находим \(b = -3\). Подставим координаты точки \(M\) в уравнение \(y = kx - 3\): \[2 = k \cdot 1 - 3\] \[k = 5\] Таким образом, \(f(x) = 5x - 3\). 3. Найдем точки пересечения графиков, приравняв функции: \[5x - 3 = \frac{2}{x}\] Умножим обе части на \(x\) (при \(x \neq 0\)): \[5x^2 - 3x - 2 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49\] \[x = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 \pm 7}{10}\] \[x_1 = \frac{3 + 7}{10} = 1\] (это абсцисса точки \(M\)) \[x_2 = \frac{3 - 7}{10} = -0,4\] (это абсцисса точки \(N\)) Ответ: -0,4. Задание 12. Решение: Для нахождения точки минимума функции \(f(x) = \frac{1}{6}x^3 - 32x - 44\) воспользуемся производной. 1. Найдем производную функции: \[f'(x) = (\frac{1}{6}x^3 - 32x - 44)' = \frac{1}{6} \cdot 3x^2 - 32 = \frac{1}{2}x^2 - 32\] 2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[\frac{1}{2}x^2 - 32 = 0\] \[\frac{1}{2}x^2 = 32\] \[x^2 = 64\] \[x_1 = 8, \quad x_2 = -8\] 3. Определим знаки производной на промежутках: - При \(x > 8\) (например, \(x=10\)): \(f'(10) = 50 - 32 = 18 > 0\) (функция возрастает). - При \(-8 < x < 8\) (например, \(x=0\)): \(f'(0) = -32 < 0\) (функция убывает). - При \(x < -8\) (например, \(x=-10\)): \(f'(-10) = 50 - 32 = 18 > 0\) (функция возрастает). Точка минимума — это точка, в которой производная меняет знак с минуса на плюс. Это происходит в точке \(x = 8\). Ответ: 8.