Решение задач: Арифметическая и Геометрическая прогрессии

Ниже представлены решения задач, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1 (Тип 14 № 457303) Дано: Арифметическая прогрессия, где: \( a_1 = 19 \) (мест в первом ряду) \( d = 2 \) (разность) \( n = 13 \) (количество рядов) Найти: \( a_{13} \) Решение: Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + d(n - 1) \] Подставим значения: \[ a_{13} = 19 + 2 \cdot (13 - 1) \] \[ a_{13} = 19 + 2 \cdot 12 \] \[ a_{13} = 19 + 24 = 43 \] Ответ: 43. Задача 2 (Тип 14 № 463385) Дано: Геометрическая прогрессия, где: \( b_1 = 3,6 \) м = 360 см \( q = \frac{1}{3} \) Найти: наименьшее \( n \), при котором \( b_n < 15 \) см. Решение: Формула n-го члена: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \) 1) \( b_1 = 360 \) см 2) \( b_2 = 360 \cdot \frac{1}{3} = 120 \) см 3) \( b_3 = 120 \cdot \frac{1}{3} = 40 \) см 4) \( b_4 = 40 \cdot \frac{1}{3} = 13\frac{1}{3} \) см Заметим, что \( 13\frac{1}{3} < 15 \). Значит, на 4-м прыжке высота впервые станет меньше 15 см. Ответ: 4. Задача 3 (Тип 14 № 412474) Дано: Арифметическая прогрессия: \( a_1 = 6 \) м \( d = 10 \) м \( n = 5 \) с Найти: \( S_5 \) (суммарное расстояние) Решение: Воспользуемся формулой суммы первых n членов: \[ S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n \] \[ S_5 = \frac{2 \cdot 6 + 10(5 - 1)}{2} \cdot 5 \] \[ S_5 = \frac{12 + 40}{2} \cdot 5 \] \[ S_5 = \frac{52}{2} \cdot 5 = 26 \cdot 5 = 130 \] Ответ: 130. Задача 4 (Тип 14 № 412289) Дано: \( m_0 = 160 \) мг Период полураспада \( T = 8 \) мин Общее время \( t = 40 \) мин Найти: \( m(t) \) Решение: 1) Найдем количество циклов распада: \[ n = \frac{t}{T} = \frac{40}{8} = 5 \] 2) При каждом цикле масса уменьшается в 2 раза. Это геометрическая прогрессия с \( q = 0,5 \): \[ m = 160 \cdot (\frac{1}{2})^5 \] \[ m = 160 \cdot \frac{1}{32} = 5 \] Ответ: 5. Задача 5 (Тип 14 № 412215) Дано: 1 столик — 4 человека 2 столика — 6 человек 3 столика — 8 человек Это арифметическая прогрессия, где \( a_1 = 4 \), \( d = 2 \). Найти: количество человек для \( n = 16 \) столиков. Решение: Используем формулу n-го члена: \[ a_n = a_1 + d(n - 1) \] \[ a_{16} = 4 + 2 \cdot (16 - 1) \] \[ a_{16} = 4 + 2 \cdot 15 \] \[ a_{16} = 4 + 30 = 34 \] Ответ: 34.