Решение задачи: Переменный ток в цепи с конденсатором

На доске представлены четыре задачи по теме «Переменный ток в цепи с конденсатором». Ниже приведено решение каждой из них в удобном для переписывания виде. Задача №1 (верхний левый угол) Дано: \(C = 100 \text{ нФ} = 100 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 10^{-7} \text{ Ф}\) \(u = 7,05 \sin(942 \cdot 10^3 t) \text{ В}\) Найти: \(U, I, i(t)\) Решение: 1. Из уравнения напряжения \(u = U_m \sin(\omega t)\) находим амплитудное значение напряжения и циклическую частоту: \(U_m = 7,05 \text{ В}\) \(\omega = 942 \cdot 10^3 \text{ рад/с}\) 2. Действующее значение напряжения: \[U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} = \frac{7,05}{1,41} \approx 5 \text{ В}\] 3. Емкостное сопротивление: \[X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{942 \cdot 10^3 \cdot 10^{-7}} = \frac{1}{0,0942} \approx 10,6 \text{ Ом}\] 4. Амплитудное значение тока: \[I_m = \frac{U_m}{X_C} = 7,05 \cdot 0,0942 \approx 0,66 \text{ А}\] 5. Действующее значение тока: \[I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{0,66}{1,41} \approx 0,47 \text{ А}\] 6. Уравнение мгновенного значения тока (в цепи с конденсатором ток опережает напряжение на \(90^\circ\)): \[i = 0,66 \sin(942 \cdot 10^3 t + 90^\circ) \text{ А}\] Ответ: \(U = 5 \text{ В}\); \(I = 0,47 \text{ А}\); \(i = 0,66 \sin(942 \cdot 10^3 t + 90^\circ) \text{ А}\). --- Задача №2 (нижний левый угол) Дано: \(C = 318 \text{ мкФ} = 318 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}\) \(U = 10 \text{ В}\) \(I = 0,4 \text{ А}\) Найти: \(f\) Решение: 1. Находим емкостное сопротивление: \[X_C = \frac{U}{I} = \frac{10}{0,4} = 25 \text{ Ом}\] 2. Из формулы \(X_C = \frac{1}{2\pi f C}\) выражаем частоту: \[f = \frac{1}{2\pi X_C C} = \frac{1}{2 \cdot 3,14 \cdot 25 \cdot 318 \cdot 10^{-6}} = \frac{1}{0,0499} \approx 20 \text{ Гц}\] Ответ: \(f = 20 \text{ Гц}\). --- Задача №3 (верхний правый угол) Дано: \(u = 50 \sin(314 t) \text{ В}\) \(i = 0,5 \sin(314 t + 90^\circ) \text{ А}\) Найти: \(C\) Решение: 1. Из уравнений имеем: \(U_m = 50 \text{ В}\), \(I_m = 0,5 \text{ А}\), \(\omega = 314 \text{ рад/с}\). 2. Находим емкостное сопротивление: \[X_C = \frac{U_m}{I_m} = \frac{50}{0,5} = 100 \text{ Ом}\] 3. Находим емкость: \[C = \frac{1}{\omega X_C} = \frac{1}{314 \cdot 100} = \frac{1}{31400} \approx 31,8 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} = 31,8 \text{ мкФ}\] Ответ: \(C = 31,8 \text{ мкФ}\). --- Задача №4 (нижний правый угол) Дано: \(U = 10 \text{ В}\) \(i = 1,41 \sin(1000 t) \text{ А}\) Найти: \(X_C, C, u(t)\) Решение: 1. Из уравнения тока: \(I_m = 1,41 \text{ А}\), \(\omega = 1000 \text{ рад/с}\). 2. Действующее значение тока: \[I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} = \frac{1,41}{1,41} = 1 \text{ А}\] 3. Емкостное сопротивление: \[X_C = \frac{U}{I} = \frac{10}{1} = 10 \text{ Ом}\] 4. Емкость конденсатора: \[C = \frac{1}{\omega X_C} = \frac{1}{1000 \cdot 10} = 10^{-4} \text{ Ф} = 100 \text{ мкФ}\] 5. Амплитудное значение напряжения: \[U_m = U \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot 1,41 = 14,1 \text{ В}\] 6. Уравнение напряжения (напряжение отстает от тока на \(90^\circ\)): \[u = 14,1 \sin(1000 t - 90^\circ) \text{ В}\] Ответ: \(X_C = 10 \text{ Ом}\); \(C = 100 \text{ мкФ}\); \(u = 14,1 \sin(1000 t - 90^\circ) \text{ В}\).