Решение задач по алгебре: Теорема Виета и прямоугольник

Ниже представлено решение задач из вашего списка в удобном для переписывания виде. Задание 2 Пусть \(a\) и \(b\) — стороны прямоугольника. Периметр \(P = 2(a + b) = 26\) см, отсюда \(a + b = 13\), значит \(b = 13 - a\). Площадь \(S = a \cdot b = 36\) см\(^2\). Составим уравнение: \[a(13 - a) = 36\] \[13a - a^2 - 36 = 0\] \[a^2 - 13a + 36 = 0\] По теореме Виета: \[a_1 + a_2 = 13\] \[a_1 \cdot a_2 = 36\] Корни уравнения: \(a_1 = 4\), \(a_2 = 9\). Если \(a = 4\), то \(b = 13 - 4 = 9\). Ответ: стороны прямоугольника равны 4 см и 9 см. Задание 3 Дано уравнение \(x^2 + px + 56 = 0\) и корень \(x_1 = -4\). По теореме Виета: 1) \(x_1 \cdot x_2 = 56\) \[-4 \cdot x_2 = 56\] \[x_2 = 56 : (-4) = -14\] 2) \(x_1 + x_2 = -p\) \[-4 + (-14) = -p\] \[-18 = -p\] \[p = 18\] Ответ: \(x_2 = -14\), \(p = 18\). Задание 4 а) \(\frac{x^2}{x^2 - 1} = \frac{4x + 5}{x^2 - 1}\) ОДЗ: \(x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, x \neq -1\). Так как знаменатели равны, приравниваем числители: \[x^2 = 4x + 5\] \[x^2 - 4x - 5 = 0\] По теореме Виета: \(x_1 = 5\), \(x_2 = -1\). Корень \(x = -1\) не подходит по ОДЗ. Ответ: 5. б) \(\frac{5}{x - 3} - \frac{8}{x} = 3\) ОДЗ: \(x \neq 3, x \neq 0\). Приведем к общему знаменателю \(x(x - 3)\): \[5x - 8(x - 3) = 3x(x - 3)\] \[5x - 8x + 24 = 3x^2 - 9x\] \[3x^2 - 6x - 24 = 0\] Разделим на 3: \[x^2 - 2x - 8 = 0\] По теореме Виета: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -2\). Оба корня подходят по ОДЗ. Ответ: -2; 4. Задание 5 Пусть \(x\) км/ч — скорость первого автомобиля, тогда \((x - 17)\) км/ч — скорость второго. Расстояние \(S = 340\) км. Время первого: \(t_1 = \frac{340}{x}\). Время второго: \(t_2 = \frac{340}{x - 17}\). По условию \(t_2 - t_1 = 1\) час. \[\frac{340}{x - 17} - \frac{340}{x} = 1\] ОДЗ: \(x > 17\). \[340x - 340(x - 17) = x(x - 17)\] \[340x - 340x + 5780 = x^2 - 17x\] \[x^2 - 17x - 5780 = 0\] \[D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5780) = 289 + 23120 = 23409 = 153^2\] \[x_1 = \frac{17 + 153}{2} = \frac{170}{2} = 85\] \[x_2 = \frac{17 - 153}{2} = -68 \text{ (не подходит по смыслу)}\] Ответ: скорость первого автомобиля 85 км/ч.