Решение уравнения (x+8)^4 - 3(x+8)^2 - 28 = 0

Ниже представлены подробные решения задач из второй части, оформленные для записи в тетрадь. Задание 20 Решите уравнение: \[ (x+8)^4 - 3(x+8)^2 - 28 = 0 \] Решение: Введем замену переменной. Пусть \( (x+8)^2 = t \), где \( t \ge 0 \). Тогда уравнение примет вид квадратного: \[ t^2 - 3t - 28 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2 \] Корни уравнения: \[ t_1 = \frac{3 + 11}{2} = 7 \] \[ t_2 = \frac{3 - 11}{2} = -4 \] Так как по условию замены \( t \ge 0 \), корень \( t_2 = -4 \) не подходит. Вернемся к замене для \( t_1 = 7 \): \[ (x+8)^2 = 7 \] \[ x+8 = \sqrt{7} \quad \text{или} \quad x+8 = -\sqrt{7} \] \[ x_1 = -8 + \sqrt{7} \] \[ x_2 = -8 - \sqrt{7} \] Ответ: \( -8 - \sqrt{7}; -8 + \sqrt{7} \). Задание 21 Решение: Пусть \( x \) км/ч — собственная скорость лодки (\( x > 2 \)). Тогда: \( (x - 2) \) км/ч — скорость против течения; \( (x + 2) \) км/ч — скорость по течению. Время, затраченное на путь против течения: \( t_1 = \frac{192}{x - 2} \) ч. Время, затраченное на путь по течению: \( t_2 = \frac{192}{x + 2} \) ч. По условию задачи время на обратный путь (по течению) на 4 часа меньше. Составим уравнение: \[ \frac{192}{x - 2} - \frac{192}{x + 2} = 4 \] Разделим обе части уравнения на 4: \[ \frac{48}{x - 2} - \frac{48}{x + 2} = 1 \] Приведем к общему знаменателю \( (x-2)(x+2) \): \[ 48(x + 2) - 48(x - 2) = (x - 2)(x + 2) \] \[ 48x + 96 - 48x + 96 = x^2 - 4 \] \[ 192 = x^2 - 4 \] \[ x^2 = 196 \] \[ x = 14 \quad \text{или} \quad x = -14 \] Так как скорость не может быть отрицательной, нам подходит только \( x = 14 \). Ответ: 14 км/ч.