Решение уравнения (x+8)^4 - 3(x+8)^2 - 28 = 0. Задание 20

Задание 20. Решите уравнение: \[ (x+8)^4 - 3(x+8)^2 - 28 = 0 \] Решение: Пусть \( (x+8)^2 = t \), где \( t \ge 0 \). Тогда уравнение примет вид: \[ t^2 - 3t - 28 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2 \] Корни уравнения: \[ t_1 = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] \[ t_2 = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] Так как \( t \ge 0 \), то корень \( t_2 = -4 \) не подходит по условию замены. Вернемся к переменной \( x \): \[ (x+8)^2 = 7 \] \[ x+8 = \sqrt{7} \quad \text{или} \quad x+8 = -\sqrt{7} \] \[ x_1 = -8 + \sqrt{7} \] \[ x_2 = -8 - \sqrt{7} \] Ответ: \( -8 \pm \sqrt{7} \). Задание 21. Пусть \( x \) км/ч — собственная скорость лодки (в неподвижной воде), \( x > 2 \). Тогда скорость лодки по течению равна \( (x+2) \) км/ч, а против течения — \( (x-2) \) км/ч. Расстояние в обе стороны составляет 192 км. Время, затраченное на путь против течения: \( \frac{192}{x-2} \) ч. Время, затраченное на путь по течению: \( \frac{192}{x+2} \) ч. По условию задачи время на обратный путь (по течению) на 4 часа меньше, чем против течения. Составим уравнение: \[ \frac{192}{x-2} - \frac{192}{x+2} = 4 \] Разделим обе части уравнения на 4: \[ \frac{48}{x-2} - \frac{48}{x+2} = 1 \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{48(x+2) - 48(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 1 \] \[ \frac{48x + 96 - 48x + 96}{x^2 - 4} = 1 \] \[ \frac{192}{x^2 - 4} = 1 \] \[ x^2 - 4 = 192 \] \[ x^2 = 196 \] \[ x = 14 \quad \text{или} \quad x = -14 \] Так как скорость не может быть отрицательной, \( x = 14 \). Ответ: 14 км/ч.