Решение задачи: Острые углы треугольника ABC

Домашняя работа Задача 1. Найдите острые углы треугольника ABC (рис. 4.167). Решение: 1) Угол \( \angle ABC \) и внешний угол при вершине \( B \), равный \( 150^\circ \), являются смежными. Сумма смежных углов равна \( 180^\circ \). \[ \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \] 2) Треугольник \( ABC \) — прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)). Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^\circ \). \[ \angle BAC = 90^\circ - \angle ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] Ответ: \( 30^\circ \), \( 60^\circ \). Задача 2. Высота остроугольного треугольника ABC образует со сторонами, выходящими из той же вершины, углы \( 18^\circ \) и \( 46^\circ \). Найдите углы треугольника ABC. Решение: Пусть высота проведена из вершины \( B \) к стороне \( AC \). Обозначим основание высоты как \( H \). 1) Угол \( \angle B \) треугольника равен сумме углов, которые высота образует со сторонами: \[ \angle B = 18^\circ + 46^\circ = 64^\circ \] 2) Из прямоугольного треугольника \( ABH \) (\( \angle AHB = 90^\circ \)): \[ \angle A = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ \] 3) Из прямоугольного треугольника \( CBH \) (\( \angle CHB = 90^\circ \)): \[ \angle C = 90^\circ - 46^\circ = 44^\circ \] Проверка: \( 72^\circ + 64^\circ + 44^\circ = 180^\circ \). Ответ: \( 72^\circ \), \( 64^\circ \), \( 44^\circ \). Задача 3. Докажите равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Доказательство: Пусть даны два прямоугольных треугольника \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \) (\( \angle C = \angle C_1 = 90^\circ \)), у которых гипотенузы \( AB = A_1B_1 \) и острые углы \( \angle A = \angle A_1 \). 1) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \( 90^\circ \), то \( \angle B = 90^\circ - \angle A \) и \( \angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1 \). Поскольку \( \angle A = \angle A_1 \), то и \( \angle B = \angle B_1 \). 2) Треугольники \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \) равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам): \( AB = A_1B_1 \), \( \angle A = \angle A_1 \), \( \angle B = \angle B_1 \). Что и требовалось доказать. Задача 4.1. Дано: AD — биссектриса \( \angle A \) (рис. 4.169). Найти: острые углы \( \triangle ADC \). Решение: 1) В \( \triangle ABC \) угол \( \angle ABC \) смежный с внешним углом \( 150^\circ \): \[ \angle ABC = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \] 2) В прямоугольном \( \triangle ABC \): \[ \angle BAC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] 3) Так как \( AD \) — биссектриса, то: \[ \angle CAD = \angle BAC : 2 = 60^\circ : 2 = 30^\circ \] 4) В прямоугольном \( \triangle ADC \): \[ \angle ADC = 90^\circ - \angle CAD = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \] Ответ: \( 30^\circ \), \( 60^\circ \).