Решение задач для школы

Ниже представлены решения задач из вашего списка, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задача 1. Дано: \( a = 3 \) (сторона правильного многоугольника) \( \alpha = 156^\circ \) (угол многоугольника) Найти: \( P \) (периметр) Решение: 1) Сумма углов правильного \( n \)-угольника вычисляется по формуле: \[ S = 180^\circ \cdot (n - 2) \] С другой стороны, сумма всех углов равна \( n \cdot \alpha \). Приравняем их: \[ 180 \cdot (n - 2) = 156 \cdot n \] \[ 180n - 360 = 156n \] \[ 180n - 156n = 360 \] \[ 24n = 360 \] \[ n = \frac{360}{24} = 15 \] Значит, это правильный 15-угольник. 2) Периметр равен произведению количества сторон на длину одной стороны: \[ P = n \cdot a = 15 \cdot 3 = 45 \] Ответ: 45. Задача 2. Дано: Правильный восьмиугольник вписан в окружность. Сумма наименьших диагоналей равна 8. Найти: сторону вписанного квадрата (\( a_4 \)). Решение: 1) В правильном восьмиугольнике из каждой вершины выходит 5 диагоналей. Наименьшие диагонали соединяют вершины через одну (например, \( A_1A_3 \)). Всего таких диагоналей 8. Пусть \( d \) — длина наименьшей диагонали. Тогда \( 8d = 8 \), откуда \( d = 1 \). 2) Рассмотрим треугольник, образованный двумя сторонами восьмиугольника \( a_8 \) и наименьшей диагональю \( d \). Угол между сторонами равен \( \frac{180(8-2)}{8} = 135^\circ \). По теореме косинусов: \[ d^2 = a_8^2 + a_8^2 - 2a_8^2 \cos(135^\circ) \] \[ 1 = 2a_8^2 (1 - \cos(135^\circ)) = 2a_8^2 (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = a_8^2 (2 + \sqrt{2}) \] Также известно, что \( d = R\sqrt{2 - \sqrt{2}} \) (где \( R \) — радиус окружности) не совсем верно, проще использовать связь \( d \) с радиусом: центральный угол, опирающийся на \( d \), равен \( 2 \cdot \frac{360}{8} = 90^\circ \). Значит, треугольник, образованный двумя радиусами и наименьшей диагональю — прямоугольный. \[ d^2 = R^2 + R^2 \Rightarrow 1 = 2R^2 \Rightarrow R^2 = \frac{1}{2} \] 3) Сторона вписанного квадрата \( a_4 \) выражается через радиус: \[ a_4 = R\sqrt{2} \] \[ a_4^2 = 2R^2 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] \[ a_4 = 1 \] Ответ: 1. Задача 4. Дано: \( \angle A = 63^\circ \) (вписанный угол) Найти: какой процент от длины окружности составляет дуга \( BC \), не содержащая точку \( A \). Решение: 1) Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, градусная мера дуги \( BC \): \[ \cup BC = 2 \cdot \angle A = 2 \cdot 63^\circ = 126^\circ \] 2) Вся окружность составляет \( 360^\circ \). Чтобы найти процентное соотношение, разделим меру дуги на меру всей окружности и умножим на 100%: \[ P = \frac{126^\circ}{360^\circ} \cdot 100\% = \frac{126}{36} \cdot 10\% = 3,5 \cdot 10\% = 35\% \] Ответ: 35%. Задача 5. Дано: Правильный шестиугольник. \( R \) — радиус описанной окружности. \( r \) — радиус вписанной окружности. Найти: \( \frac{S_{опис}}{S_{впис}} \) Решение: 1) Площадь круга вычисляется по формуле \( S = \pi R^2 \). 2) Для правильного шестиугольника со стороной \( a \) известны соотношения: Радиус описанной окружности: \( R = a \) Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{a\sqrt{3}}{2} \) 3) Найдем площади кругов: \[ S_{опис} = \pi R^2 = \pi a^2 \] \[ S_{впис} = \pi r^2 = \pi (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = \pi \frac{3a^2}{4} = 0,75 \pi a^2 \] 4) Найдем отношение: \[ \frac{S_{опис}}{S_{впис}} = \frac{\pi a^2}{0,75 \pi a^2} = \frac{1}{0,75} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \] Ответ: 4 : 3 (или \( 1\frac{1}{3} \)).