Решение задачи №3: Площадь общей части многоугольников

Задача №3 Дано: В окружность вписаны правильный \(n_1\)-угольник (\(n_1 = 20\)) и правильный \(n_2\)-угольник (\(n_2 = 40\)). Они имеют общую вершину \(A\). Площадь двадцатиугольника \(S_{20} = 20\). Найти: Площадь общей части этих многоугольников \(S_{общ}\). Решение: 1. Заметим, что так как \(40 = 20 \cdot 2\), то вершины правильного двадцатиугольника являются вершинами правильного сорокаугольника (через одну). 2. Поскольку оба многоугольника вписаны в одну и ту же окружность и имеют общую вершину \(A\), то все вершины двадцатиугольника совпадают с каждой второй вершиной сорокаугольника. 3. Любой правильный многоугольник является выпуклым множеством точек. Пересечение двух выпуклых множеств также является выпуклым множеством. 4. Так как все вершины двадцатиугольника лежат на границе (в вершинах) сорокаугольника, а сам двадцатиугольник является выпуклым, то он целиком содержится внутри сорокаугольника. 5. Следовательно, общей частью этих двух многоугольников является сам двадцатиугольник. 6. Таким образом, площадь общей части равна площади двадцатиугольника: \[ S_{общ} = S_{20} \] \[ S_{общ} = 20 \] Ответ: 20.