Решение:

Задача 1. Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Упростим векторные выражения, используя свойства параллелепипеда (равенство и параллельность противоположных ребер) и правила сложения векторов. а) Найти вектор, равный \(\vec{AC_1} + \vec{DA_1} + \vec{B_1B} + \vec{BA}\) 1. Сгруппируем и переставим слагаемые для удобства сложения по правилу цепочки: \[ \vec{DA_1} + \vec{AC_1} + \vec{B_1B} + \vec{BA} \] 2. Заметим, что в параллелепипеде \(\vec{B_1B} = \vec{A_1A}\). Заменим вектор: \[ \vec{DA_1} + \vec{A_1A} + \vec{AC_1} + \vec{BA} \] 3. Сложим первые три вектора по правилу цепочки: \[ (\vec{DA_1} + \vec{A_1A}) + \vec{AC_1} = \vec{DA} + \vec{AC_1} = \vec{DC_1} \] 4. Теперь добавим оставшийся вектор \(\vec{BA}\). Заметим, что \(\vec{BA} = \vec{CD}\): \[ \vec{DC_1} + \vec{CD} = \vec{CD} + \vec{DC_1} = \vec{CC_1} \] Ответ по пункту а: Вектор \(\vec{CC_1}\) (или любое равное ему боковое ребро, например \(\vec{AA_1}\)). б) Найти вектор, равный \(\vec{BA} - \vec{B_1C_1}\) 1. В параллелепипеде противоположные ребра верхнего и нижнего оснований равны и параллельны, поэтому \(\vec{B_1C_1} = \vec{BC}\). 2. Подставим это в выражение: \[ \vec{BA} - \vec{BC} \] 3. По правилу вычитания векторов, имеющих общее начало: \[ \vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA} \] Ответ по пункту б: Вектор \(\vec{CA}\) (диагональ нижнего основания). Рекомендация для тетради: При оформлении рисунка выделите итоговые векторы жирными стрелками. В пункте (а) это будет вертикальное ребро, направленное вверх. В пункте (б) это будет отрезок, соединяющий вершину C с вершиной A, с направлением к точке A.