Решение задачи: Разложение вектора в тетраэдре

Задача 2. В тетраэдре \(DABC\) точка \(M\) — точка пересечения медиан грани \(BDC\), \(E\) — середина \(AC\). Разложите вектор \(\vec{EM}\) по векторам \(\vec{AC}\), \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\). Решение: 1. Выразим вектор \(\vec{EM}\) через разность векторов с общим началом в точке \(A\): \[ \vec{EM} = \vec{AM} - \vec{AE} \] 2. Так как \(E\) — середина \(AC\), то вектор \(\vec{AE}\) выражается как: \[ \vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AC} \] 3. Точка \(M\) является центроидом (точкой пересечения медиан) треугольника \(BDC\). По свойству точки пересечения медиан, для любой точки пространства (в том числе для точки \(A\)) справедливо равенство: \[ \vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}) \] 4. Подставим полученные выражения для \(\vec{AM}\) и \(\vec{AE}\) в формулу из первого шага: \[ \vec{EM} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}) - \frac{1}{2}\vec{AC} \] 5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые при векторе \(\vec{AC}\): \[ \vec{EM} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{1}{3}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AC} \] \[ \vec{EM} = \frac{1}{3}\vec{AB} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})\vec{AC} + \frac{1}{3}\vec{AD} \] 6. Вычислим коэффициент перед \(\vec{AC}\): \[ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6} \] 7. Итоговое разложение: \[ \vec{EM} = -\frac{1}{6}\vec{AC} + \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AD} \] Ответ: \(\vec{EM} = -\frac{1}{6}\vec{AC} + \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AD}\)