Решение:

Задача: В тетраэдре DABC M — точка пересечения медиан грани BDC, E — середина AC. Разложите вектор \(\vec{EM}\) по векторам \(\vec{AC}\), \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\). Решение: 1. Выразим вектор \(\vec{EM}\) через разность радиус-векторов с началом в точке A: \[ \vec{EM} = \vec{AM} - \vec{AE} \] 2. Так как E — середина отрезка AC, то вектор \(\vec{AE}\) выражается следующим образом: \[ \vec{AE} = \frac{1}{2} \vec{AC} \] 3. Точка M является центроидом (точкой пересечения медиан) треугольника BDC. По свойству центроида, его радиус-вектор равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин треугольника: \[ \vec{AM} = \frac{1}{3} (\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}) \] 4. Подставим полученные выражения в формулу для \(\vec{EM}\): \[ \vec{EM} = \frac{1}{3} (\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}) - \frac{1}{2} \vec{AC} \] 5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые при векторе \(\vec{AC}\): \[ \vec{EM} = \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC} + \frac{1}{3} \vec{AD} - \frac{1}{2} \vec{AC} \] \[ \vec{EM} = \frac{1}{3} \vec{AB} + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) \vec{AC} + \frac{1}{3} \vec{AD} \] 6. Вычислим коэффициент перед \(\vec{AC}\): \[ \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6} \] 7. Запишем итоговое разложение: \[ \vec{EM} = -\frac{1}{6} \vec{AC} + \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AD} \] Ответ: \(\vec{EM} = -\frac{1}{6} \vec{AC} + \frac{1}{3} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AD}\)