Разложение вектора EM в тетраэдре DABC

Задача: В тетраэдре DABC M — точка пересечения медиан грани BDC, E — середина AC. Разложите вектор \(\vec{EM}\) по векторам \(\vec{AC}\), \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\). Решение: 1. Выразим вектор \(\vec{EM}\) через разность векторов с общим началом в точке A: \[\vec{EM} = \vec{AM} - \vec{AE}\] 2. Так как E — середина AC, то вектор \(\vec{AE}\) выражается следующим образом: \[\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AC}\] 3. Точка M является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника BDC. По свойству радиус-вектора центроида, вектор \(\vec{AM}\) равен среднему арифметическому векторов, идущих из точки A к вершинам треугольника BDC: \[\vec{AM} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD})\] 4. Подставим полученные выражения для \(\vec{AM}\) и \(\vec{AE}\) в формулу из первого пункта: \[\vec{EM} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}) - \frac{1}{2}\vec{AC}\] 5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые при векторе \(\vec{AC}\): \[\vec{EM} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC} + \frac{1}{3}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AC}\] \[\vec{EM} = \frac{1}{3}\vec{AB} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{2})\vec{AC} + \frac{1}{3}\vec{AD}\] 6. Вычислим коэффициент при \(\vec{AC}\): \[\frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6}\] 7. Запишем итоговое разложение: \[\vec{EM} = -\frac{1}{6}\vec{AC} + \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AD}\] Ответ: \(\vec{EM} = -\frac{1}{6}\vec{AC} + \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AD}\)