Решение задачи по физике: Закон всемирного тяготения

Хорошо, давайте разберем эти задачи по физике.
1. К каким двум телам массами \(m_1\) и \(m_2\) на расстоянии \(r\) друг от друга применим закон всемирного тяготения в форме \(F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\)? Ответ: Закон всемирного тяготения в такой форме применим: 4) только к телам шарообразной формы. (Важно отметить, что для тел, не являющихся шарообразными, или для шарообразных тел, но на расстояниях, сравнимых с их размерами, формула становится более сложной, так как нужно учитывать распределение массы. Однако для большинства задач в школьной физике, если не указано иное, подразумевается, что тела можно считать точечными массами или шарообразными.)
2. Расстояние между центрами двух шаров равно 1 м, масса каждого шара 1 кг. Сила всемирного тяготения между ними равна (Гравитационная постоянная \(G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}\)) Дано: Расстояние между центрами шаров \(r = 1\) м Масса каждого шара \(m_1 = m_2 = 1\) кг Гравитационная постоянная \(G = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2}\) Найти: Сила всемирного тяготения \(F\) Решение: Используем формулу закона всемирного тяготения: \[F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\] Подставляем значения: \[F = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{1 \text{ кг} \cdot 1 \text{ кг}}{(1 \text{ м})^2}\] \[F = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{Н \cdot м^2}{кг^2} \cdot \frac{1 \text{ кг}^2}{1 \text{ м}^2}\] \[F = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н}\] Среди предложенных вариантов: 1) 1 Н 2) 0,001 Н 3) \(7 \cdot 10^{-5}\) Н 4) \(7 \cdot 10^{-11}\) Н Наиболее близкий вариант к нашему результату \(6,67 \cdot 10^{-11}\) Н это \(7 \cdot 10^{-11}\) Н. Ответ: 4) \(7 \cdot 10^{-11}\) Н
3. При увеличении в 3 раза расстояния между центрами шарообразных тел сила гравитационного притяжения Дано: Начальное расстояние \(r_1\) Новое расстояние \(r_2 = 3r_1\) Начальная сила \(F_1 = G \frac{m_1 m_2}{r_1^2}\) Найти: Как изменится сила \(F_2\) Решение: Запишем формулу для новой силы \(F_2\): \[F_2 = G \frac{m_1 m_2}{r_2^2}\] Подставим \(r_2 = 3r_1\): \[F_2 = G \frac{m_1 m_2}{(3r_1)^2}\] \[F_2 = G \frac{m_1 m_2}{9r_1^2}\] \[F_2 = \frac{1}{9} \left( G \frac{m_1 m_2}{r_1^2} \right)\] Так как \(F_1 = G \frac{m_1 m_2}{r_1^2}\), то: \[F_2 = \frac{1}{9} F_1\] Это означает, что сила уменьшится в 9 раз. Ответ: 4) уменьшается в 9 раз
4. По какой из приведённых формул можно рассчитать силу гравитационного притяжения между двумя кораблями одинаковой массы \(m\) (см. рис.)? Считайте, что \(b\) много больше размеров кораблей. (На рисунке изображены два корабля, расстояние между их центрами обозначено как \(b\). Корабли имеют сложную форму, но условие "b много больше размеров кораблей" позволяет считать их точечными массами.) Дано: Масса каждого корабля \(m_1 = m_2 = m\) Расстояние между центрами кораблей \(r = b\) Найти: Формула для силы гравитационного притяжения \(F\) Решение: Поскольку расстояние \(b\) много больше размеров кораблей, мы можем считать корабли точечными массами, расположенными в их центрах. В этом случае применяется стандартная формула закона всемирного тяготения: \[F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\] Подставляем данные: \[F = G \frac{m \cdot m}{b^2}\] \[F = G \frac{m^2}{b^2}\] Среди предложенных вариантов: 1) \(F = Gm^2/b^2\) 2) \(F = Gm^2/4b^2\) 3) \(F = Gm^2/16b^2\) 4) ни по одной из указанных формул Наш результат совпадает с вариантом 1. Ответ: 1) \(F = Gm^2/b^2\)
5. Два маленьких шарика массой \(m\) каждый находятся на расстоянии \(r\) друг от друга и притягиваются с силой \(F\). Чему равна сила гравитационного притяжения двух других шариков, если масса каждого из них \(m/2\), а расстояние между их центрами \(2r\)? Дано: Начальные условия: Массы шариков \(m_1 = m_2 = m\) Расстояние \(r_1 = r\) Сила притяжения \(F_1 = F\) Формула для \(F_1\): \[F_1 = G \frac{m \cdot m}{r^2} = G \frac{m^2}{r^2}\] Новые условия: Массы шариков \(m'_1 = m'_2 = m/2\) Расстояние \(r_2 = 2r\) Найти: Новая сила притяжения \(F_2\) Решение: Запишем формулу для новой силы \(F_2\): \[F_2 = G \frac{m'_1 m'_2}{r_2^2}\] Подставим новые значения масс и расстояния: \[F_2 = G \frac{(m/2) \cdot (m/2)}{(2r)^2}\] \[F_2 = G \frac{m^2/4}{4r^2}\] \[F_2 = G \frac{m^2}{4 \cdot 4r^2}\] \[F_2 = G \frac{m^2}{16r^2}\] Теперь выразим \(F_2\) через \(F_1\). Мы знаем, что \(F_1 = G \frac{m^2}{r^2}\). \[F_2 = \frac{1}{16} \left( G \frac{m^2}{r^2} \right)\] \[F_2 = \frac{1}{16} F_1\] Таким образом, новая сила равна \(F/16\). Среди предложенных вариантов: 1) \(F/2\) 2) \(F/4\) 3) \(F/8\) 4) \(F/16\) Наш результат совпадает с вариантом 4. Ответ: 4) \(F/16\)