Решение: Сокращение дроби (5a^2 - 19a - 4) / (1 - 25a^2)

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку. 1. Сократите дробь: \[ \frac{5a^2 - 19a - 4}{1 - 25a^2} \] Решение: Сначала разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: \(5a^2 - 19a - 4\). Найдем корни квадратного уравнения \(5a^2 - 19a - 4 = 0\) с помощью дискриминанта. \(D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 361 + 80 = 441\). \( \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \). \( a_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 21}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5} \). \( a_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 21}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4 \). Значит, \(5a^2 - 19a - 4 = 5(a - (-\frac{1}{5}))(a - 4) = 5(a + \frac{1}{5})(a - 4) = (5a + 1)(a - 4)\). Знаменатель: \(1 - 25a^2\). Это разность квадратов: \(1^2 - (5a)^2 = (1 - 5a)(1 + 5a)\). Теперь подставим разложенные множители в дробь: \[ \frac{(5a + 1)(a - 4)}{(1 - 5a)(1 + 5a)} \] Заметим, что \(1 - 5a = -(5a - 1)\) и \(1 + 5a = 5a + 1\). \[ \frac{(5a + 1)(a - 4)}{-(5a - 1)(5a + 1)} \] Сократим \(5a + 1\), при условии, что \(5a + 1 \neq 0\), то есть \(a \neq -\frac{1}{5}\). \[ \frac{a - 4}{-(5a - 1)} = \frac{a - 4}{1 - 5a} \] Или, если вынести минус из числителя: \[ \frac{-(4 - a)}{1 - 5a} = \frac{4 - a}{5a - 1} \] Ответ: \( \frac{4 - a}{5a - 1} \) (или \( \frac{a - 4}{1 - 5a} \)). 2. Постройте график функции \(y = x^2 - 4x - 5\). Найдите с помощью графика: а) значение функции при заданном значении аргумента 0,5; б) значения \(x\), при котором \(y = 3\); в) промежуток, в котором функция возрастает. Решение: График функции \(y = x^2 - 4x - 5\) - это парабола. Найдем координаты вершины параболы: \(x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\). \(y_в = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9\). Вершина параболы: \((2; -9)\). Найдем точки пересечения с осью \(Ox\) (корни уравнения \(x^2 - 4x - 5 = 0\)): \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). \( \sqrt{D} = 6 \). \( x_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \). \( x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \). Точки пересечения с осью \(Ox\): \((-1; 0)\) и \((5; 0)\). Найдем точку пересечения с осью \(Oy\) (при \(x = 0\)): \(y = (0)^2 - 4(0) - 5 = -5\). Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; -5)\). Построим график, используя эти точки. (Здесь я не могу нарисовать график, но опишу его). Парабола с вершиной в \((2; -9)\), ветви направлены вверх, пересекает ось \(Ox\) в точках \((-1; 0)\) и \((5; 0)\), ось \(Oy\) в точке \((0; -5)\). а) Значение функции при аргументе 0,5: Подставим \(x = 0,5\) в уравнение функции: \(y = (0,5)^2 - 4(0,5) - 5 = 0,25 - 2 - 5 = -6,75\). С помощью графика: найдите на оси \(Ox\) точку 0,5, поднимитесь или опуститесь до графика и посмотрите соответствующее значение на оси \(Oy\). Оно должно быть около -6,75. Ответ: \(y = -6,75\). б) Значения \(x\), при котором \(y = 3\): Подставим \(y = 3\) в уравнение функции: \(3 = x^2 - 4x - 5\). \(x^2 - 4x - 5 - 3 = 0\). \(x^2 - 4x - 8 = 0\). Найдем корни этого квадратного уравнения: \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 16 + 32 = 48\). \( \sqrt{D} = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} \). \( x_1 = \frac{4 - 4\sqrt{3}}{2} = 2 - 2\sqrt{3} \approx 2 - 2 \cdot 1,732 = 2 - 3,464 = -1,464 \). \( x_2 = \frac{4 + 4\sqrt{3}}{2} = 2 + 2\sqrt{3} \approx 2 + 3,464 = 5,464 \). С помощью графика: найдите на оси \(Oy\) точку 3, проведите горизонтальную линию до пересечения с графиком и посмотрите соответствующие значения на оси \(Ox\). Они должны быть около -1,5 и 5,5. Ответ: \(x_1 = 2 - 2\sqrt{3}\), \(x_2 = 2 + 2\sqrt{3}\). в) Промежуток, в котором функция возрастает: Парабола \(y = ax^2 + bx + c\) с \(a > 0\) возрастает на промежутке \((x_в; +\infty)\). Мы нашли, что \(x_в = 2\). Значит, функция возрастает на промежутке \((2; +\infty)\). С помощью графика: посмотрите, где график "идет вверх". Это происходит справа от вершины. Ответ: \((2; +\infty)\). 3. Решите уравнения: а) \(x^3 - 25x = 0\); Решение: Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x^2 - 25) = 0\). Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. \(x = 0\) или \(x^2 - 25 = 0\). Из \(x^2 - 25 = 0\) получаем \(x^2 = 25\). Значит, \(x = \sqrt{25}\) или \(x = -\sqrt{25}\). \(x = 5\) или \(x = -5\). Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 5\), \(x_3 = -5\). б) \( \frac{x^2 - 1}{4} - \frac{3x - 1}{2} = 2 \); Решение: Приведем все дроби к общему знаменателю, который равен 4. Умножим все члены уравнения на 4: \( 4 \cdot \frac{x^2 - 1}{4} - 4 \cdot \frac{3x - 1}{2} = 4 \cdot 2 \) \( (x^2 - 1) - 2(3x - 1) = 8 \) Раскроем скобки: \( x^2 - 1 - 6x + 2 = 8 \) Приведем подобные члены: \( x^2 - 6x + 1 = 8 \) Перенесем 8 в левую часть: \( x^2 - 6x + 1 - 8 = 0 \) \( x^2 - 6x - 7 = 0 \) Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64\). \( \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8 \). \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \). \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7 \). Ответ: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 7\). в) \( \frac{2}{20y} - \frac{4}{2y - 3} = \frac{5 - 2y}{6y + 2} \); Решение: Сначала упростим знаменатели, где это возможно. \(20y = 2 \cdot 10y\). \(6y + 2 = 2(3y + 1)\). Уравнение примет вид: \( \frac{2}{20y} - \frac{4}{2y - 3} = \frac{5 - 2y}{2(3y + 1)} \) \( \frac{1}{10y} - \frac{4}{2y - 3} = \frac{5 - 2y}{2(3y + 1)} \) Найдем общий знаменатель: \(10y \cdot (2y - 3) \cdot 2(3y + 1)\). ОДЗ: \(y \neq 0\), \(2y - 3 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{3}{2}\), \(3y + 1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -\frac{1}{3}\). Умножим каждый член уравнения на общий знаменатель \(10y \cdot (2y - 3) \cdot 2(3y + 1)\): \( \frac{1}{10y} \cdot 10y \cdot (2y - 3) \cdot 2(3y + 1) - \frac{4}{2y - 3} \cdot 10y \cdot (2y - 3) \cdot 2(3y + 1) = \frac{5 - 2y}{2(3y + 1)} \cdot 10y \cdot (2y - 3) \cdot 2(3y + 1) \) Сокращаем: \( 2(2y - 3)(3y + 1) - 4 \cdot 10y \cdot 2(3y + 1) = (5 - 2y) \cdot 10y \cdot (2y - 3) \) \( 2(6y^2 + 2y - 9y - 3) - 80y(3y + 1) = (50y - 20y^2)(2y - 3) \) \( 2(6y^2 - 7y - 3) - 240y^2 - 80y = 100y^2 - 150y - 40y^3 + 60y^2 \) \( 12y^2 - 14y - 6 - 240y^2 - 80y = -40y^3 + 160y^2 - 150y \) Перенесем все в левую часть и приведем подобные члены: \( 40y^3 + 12y^2 - 240y^2 - 160y^2 - 14y - 80y + 150y - 6 = 0 \) \( 40y^3 + (12 - 240 - 160)y^2 + (-14 - 80 + 150)y - 6 = 0 \) \( 40y^3 - 388y^2 + 56y - 6 = 0 \) Разделим все на 2: \( 20y^3 - 194y^2 + 28y - 3 = 0 \) Это кубическое уравнение. Решение кубических уравнений в общем виде довольно сложно для школьной программы. Обычно в таких задачах предполагается, что есть рациональные корни, которые можно найти подбором среди делителей свободного члена, деленных на делители старшего коэффициента. Делители 3: \(\pm 1, \pm 3\). Делители 20: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\). Возможные рациональные корни: \(\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{3}{5}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{3}{10}, \pm \frac{1}{20}, \pm \frac{3}{20}\). Попробуем подставить \(y = \frac{1}{10}\): \( 20(\frac{1}{10})^3 - 194(\frac{1}{10})^2 + 28(\frac{1}{10}) - 3 = 20 \cdot \frac{1}{1000} - 194 \cdot \frac{1}{100} + \frac{28}{10} - 3 \) \( = \frac{2}{100} - \frac{194}{100} + \frac{280}{100} - \frac{300}{100} = \frac{2 - 194 + 280 - 300}{100} = \frac{282 - 494}{100} = \frac{-212}{100} \neq 0 \). Попробуем подставить \(y = \frac{3}{2}\). Но это значение исключено из ОДЗ. Попробуем подставить \(y = \frac{1}{2}\): \( 20(\frac{1}{2})^3 - 194(\frac{1}{2})^2 + 28(\frac{1}{2}) - 3 = 20 \cdot \frac{1}{8} - 194 \cdot \frac{1}{4} + 14 - 3 \) \( = \frac{20}{8} - \frac{194}{4} + 11 = \frac{5}{2} - \frac{97}{2} + \frac{22}{2} = \frac{5 - 97 + 22}{2} = \frac{27 - 97}{2} = \frac{-70}{2} = -35 \neq 0 \). Попробуем подставить \(y = \frac{3}{10}\): \( 20(\frac{3}{10})^3 - 194(\frac{3}{10})^2 + 28(\frac{3}{10}) - 3 = 20 \cdot \frac{27}{1000} - 194 \cdot \frac{9}{100} + \frac{84}{10} - 3 \) \( = \frac{540}{1000} - \