Решение задачи: Сокращение дроби из контрольной работы по алгебре

Вот решения задач из контрольной работы по алгебре. Контрольная работа по алгебре за 1 полугодие 2025-2026 учебного года Вариант 1. 1. Сократите дробь: \[ \frac{5a^2 - 19a - 4}{1 - 25a^2} \] Решение: Сначала разложим числитель на множители. Для квадратного трехчлена \(5a^2 - 19a - 4\) найдем корни уравнения \(5a^2 - 19a - 4 = 0\). Используем формулу для корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D = b^2 - 4ac\). Здесь \(a = 5\), \(b = -19\), \(c = -4\). \[ D = (-19)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 361 + 80 = 441 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 \] \[ a_1 = \frac{-(-19) - 21}{2 \cdot 5} = \frac{19 - 21}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5} \] \[ a_2 = \frac{-(-19) + 21}{2 \cdot 5} = \frac{19 + 21}{10} = \frac{40}{10} = 4 \] Тогда числитель можно записать как \(5(a - a_1)(a - a_2) = 5(a - (-\frac{1}{5}))(a - 4) = 5(a + \frac{1}{5})(a - 4) = (5a + 1)(a - 4)\). Теперь разложим знаменатель на множители. Знаменатель \(1 - 25a^2\) является разностью квадратов: \(1^2 - (5a)^2 = (1 - 5a)(1 + 5a)\). Подставим разложенные множители в дробь: \[ \frac{(5a + 1)(a - 4)}{(1 - 5a)(1 + 5a)} \] Заметим, что \(1 + 5a\) и \(5a + 1\) - это одно и то же. \[ \frac{(5a + 1)(a - 4)}{(1 - 5a)(5a + 1)} \] Сократим на \(5a + 1\), при условии, что \(5a + 1 \neq 0\), то есть \(a \neq -\frac{1}{5}\). \[ \frac{a - 4}{1 - 5a} \] Можно также записать \(1 - 5a = -(5a - 1)\), тогда: \[ \frac{a - 4}{-(5a - 1)} = -\frac{a - 4}{5a - 1} = \frac{4 - a}{5a - 1} \] Ответ: \[ \frac{4 - a}{5a - 1} \] 2. Постройте график функции \(y = x^2 - 4x - 5\). Найдите с помощью графика: а) значение функции при заданном значении аргумента 0,5; б) значения \(x\), при котором \(y = 3\); в) промежуток, в котором функция возрастает. Решение: Графиком функции \(y = x^2 - 4x - 5\) является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при \(x^2\) равен 1, что больше 0). Найдем координаты вершины параболы \((x_в, y_в)\). \[ x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ y_в = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \] Вершина параболы находится в точке \((2, -9)\). Найдем точки пересечения с осью \(Ox\) (нули функции), то есть при \(y = 0\): \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Используем теорему Виета или формулу корней. Сумма корней \(x_1 + x_2 = 4\), произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = -5\). Корни: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\). Точки пересечения с осью \(Ox\): \((-1, 0)\) и \((5, 0)\). Найдем точку пересечения с осью \(Oy\), то есть при \(x = 0\): \[ y = (0)^2 - 4(0) - 5 = -5 \] Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0, -5)\). Построение графика: Отметьте на координатной плоскости найденные точки: вершину \((2, -9)\), точки пересечения с осью \(Ox\) \((-1, 0)\) и \((5, 0)\), точку пересечения с осью \(Oy\) \((0, -5)\). Постройте параболу, проходящую через эти точки. Для большей точности можно взять дополнительные точки, например, при \(x = 1\), \(y = 1^2 - 4(1) - 5 = 1 - 4 - 5 = -8\), точка \((1, -8)\). Из-за симметрии параболы относительно оси \(x = 2\), точка \((3, -8)\) также будет принадлежать графику. а) Значение функции при заданном значении аргумента 0,5: По графику найдите точку на параболе, соответствующую \(x = 0,5\). Или вычислим: \[ y = (0,5)^2 - 4(0,5) - 5 = 0,25 - 2 - 5 = -6,75 \] По графику: при \(x = 0,5\), \(y \approx -6,75\). б) Значения \(x\), при котором \(y = 3\): По графику проведите горизонтальную прямую \(y = 3\) и найдите точки ее пересечения с параболой. Или вычислим: \[ x^2 - 4x - 5 = 3 \] \[ x^2 - 4x - 8 = 0 \] Найдем корни этого уравнения: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 16 + 32 = 48 \] \[ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3} \] \[ x_1 = 2 - 2\sqrt{3} \approx 2 - 2 \cdot 1,732 = 2 - 3,464 = -1,464 \] \[ x_2 = 2 + 2\sqrt{3} \approx 2 + 3,464 = 5,464 \] По графику: при \(y = 3\), \(x \approx -1,5\) и \(x \approx 5,5\). в) Промежуток, в котором функция возрастает: Функция возрастает на промежутке от вершины параболы до бесконечности по оси \(x\). Так как \(x_в = 2\), функция возрастает при \(x \in [2; +\infty)\). Ответ: а) При \(x = 0,5\), \(y = -6,75\). б) При \(y = 3\), \(x_1 = 2 - 2\sqrt{3}\) и \(x_2 = 2 + 2\sqrt{3}\). в) Функция возрастает на промежутке \([2; +\infty)\). 3. Решите уравнения: а) \(x^3 - 25x = 0\) б) \[ \frac{x^2 - 1}{3x - 1} = 2 \] в) \[ \frac{2}{20y} - \frac{4}{2y - 3} = \frac{5 - 2y}{6y + 2} \] Решение: а) \(x^3 - 25x = 0\) Вынесем общий множитель \(x\) за скобки: \[ x(x^2 - 25) = 0 \] Разложим выражение в скобках как разность квадратов: \[ x(x - 5)(x + 5) = 0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \[ x = 0 \] или \[ x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \] или \[ x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 \] Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 5\), \(x_3 = -5\). б) \[ \frac{x^2 - 1}{3x - 1} = 2 \] Ограничение: знаменатель не может быть равен нулю, то есть \(3x - 1 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{1}{3}\). Умножим обе части уравнения на \(3x - 1\): \[ x^2 - 1 = 2(3x - 1) \] \[ x^2 - 1 = 6x - 2 \] Перенесем все члены в левую часть: \[ x^2 - 6x - 1 + 2 = 0 \] \[ x^2 - 6x + 1 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения с помощью формулы: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32 \] \[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{16 \cdot 2}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} \] \[ x_1 = \frac{6 - 4\sqrt{2}}{2} = 3 - 2\sqrt{2} \] \[ x_2 = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2} = 3 + 2\sqrt{2} \] Оба корня не равны \(\frac{1}{3}\), так как \(\sqrt{2} \approx 1,41\), \(3 - 2\sqrt{2} \approx 3 - 2,82 = 0,18\) и \(3 + 2\sqrt{2} \approx 3 + 2,82 = 5,82\). Ответ: \(x_1 = 3 - 2\sqrt{2}\), \(x_2 = 3 + 2\sqrt{2}\). в) \[ \frac{2}{20y} - \frac{4}{2y - 3} = \frac{5 - 2y}{6y + 2} \] Сначала упростим знаменатели и найдем общий знаменатель. \[ 20y = 2 \cdot 10 \cdot y \] \[ 2y - 3 \] \[ 6y + 2 = 2(3y + 1) \] Ограничения: \(20y \neq 0 \Rightarrow y \neq 0\) \(2y - 3 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{3}{2}\) \(6y + 2 \neq 0 \Rightarrow y \neq -\frac{1}{3}\) Перепишем уравнение, сократив первую дробь: \[ \frac{1}{10y} - \frac{4}{2y - 3} = \frac{5 - 2y}{2(3y + 1)} \] Общий знаменатель: \(10y \cdot (2y - 3) \cdot 2(3y + 1)\). Умножим каждую дробь на недостающие множители общего знаменателя: \[ \frac{1 \cdot (2y - 3) \cdot 2(3y + 1)}{10y \cdot (2y - 3) \cdot 2(3y + 1)} - \frac{4 \cdot 10y \cdot 2(3y + 1)}{10y \cdot (2y - 3) \cdot 2(3y + 1)} = \frac{(5 - 2y) \cdot 10y \cdot (2y - 3)}{10y \cdot (2y - 3) \cdot 2(3y + 1)} \] Приравняем числители: \[ 2(2y - 3)(3y + 1) - 80y(3y + 1) = 10y(5 - 2y)(2y - 3) \] Раскроем скобки: \[ 2(6y^2 + 2y - 9y - 3) - (240y^2 + 80y) = 10y(10y - 15 - 4y^2 + 6y) \] \[ 2(6y^2 - 7y - 3) - 240y^2 - 80y = 10y(-4y^2 + 16y - 15) \] \[ 12y^2 - 14y - 6 - 240y^2 - 80y = -40y^3 + 160y^2 - 150y \] \[ -228y^2 - 94y - 6 = -40y^3 + 160y^2 - 150y \] Перенесем все члены в левую часть: \[ 40y^3 - 228y^2 - 160y^2 - 94y + 150y - 6 = 0 \] \[ 40y^3 - 388y^2 + 56y - 6 = 0 \] Разделим все на 2: \[ 20y^3 - 194y^2 + 28y - 3 = 0 \] Это кубическое уравнение. Решение кубических уравнений в общем виде достаточно сложно для школьной программы. Возможно, в условии задачи есть опечатка или предполагается более простое уравнение. Если это уравнение из контрольной работы, то, скорее всего, оно должно иметь рациональные корни, которые можно найти подбором среди делителей свободного члена, деленных на делители старшего коэффициента. Делители 3: \(\pm 1, \pm 3\). Делители 20: \(\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\). Возможные рациональные корни: \(\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{3}{5}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{3}{10}, \pm \frac{1}{20}, \pm \frac{3}{20}\). Попробуем подставить \(y = \frac{1}{2}\): \[ 20(\frac{1}{2})^3 - 194(\frac{1}{2})^2 + 28(\frac{1}{2}) - 3 = 20 \cdot \frac{1}{8} - 194 \cdot \frac{1}{4} + 14 - 3 \] \[ = \frac{20}{8} - \frac{194}{4} + 11 = \frac{5}{2} - \frac{97}{2} + 11 = \frac{5 - 97}{2} + 11 = \frac{-92}{2} + 11 = -46 + 11 = -35 \neq 0 \] Попробуем подставить \(y = \frac{3}{2}\): \[ 20(\frac{3}{2})^3 - 194(\frac{3}{2})^2 + 28(\frac{3}{2}) - 3 = 20 \cdot \frac{27}{8} - 194 \cdot \frac{9}{4} + 14 \cdot 3 - 3 \] \[ = \frac{5 \cdot 27}{2} - \frac{97 \cdot 9}{2} + 42 - 3 = \frac{135}{2} - \frac{873}{2} + 39 \] \[ = \frac{135 - 873}{2} + 39 = \frac{-738}{2} + 39 = -369 + 39 = -330 \neq 0 \] Попробуем подставить \(y = \frac{1}{10}\): \[ 20(\frac{1}{10})^3 - 194(\frac{1}{10})^2 + 28(\frac{1}{10