Решение системы неравенств: -40 + 8x < 0 и 12 - 4x > -20

Решение задачи: Нам дана система неравенств: \[ \begin{cases} -40 + 8x < 0, \\ 12 - 4x > -20. \end{cases} \] Чтобы найти решение этой системы, нужно решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение их решений. Шаг 1: Решаем первое неравенство. \[ -40 + 8x < 0 \] Перенесем число -40 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный: \[ 8x < 40 \] Теперь разделим обе части неравенства на 8. Так как 8 - положительное число, знак неравенства не изменится: \[ x < \frac{40}{8} \] \[ x < 5 \] Таким образом, решением первого неравенства является интервал \( (-\infty; 5) \). Шаг 2: Решаем второе неравенство. \[ 12 - 4x > -20 \] Перенесем число 12 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный: \[ -4x > -20 - 12 \] \[ -4x > -32 \] Теперь разделим обе части неравенства на -4. Так как -4 - отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный: \[ x < \frac{-32}{-4} \] \[ x < 8 \] Таким образом, решением второго неравенства является интервал \( (-\infty; 8) \). Шаг 3: Находим пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти такие значения \(x\), которые удовлетворяют одновременно обоим условиям: 1. \(x < 5\) 2. \(x < 8\) Представим эти интервалы на числовой прямой. Для первого неравенства: все числа, которые меньше 5. Для второго неравенства: все числа, которые меньше 8. Пересечением этих двух интервалов будет тот интервал, где оба условия выполняются. Если число меньше 5, то оно автоматически будет меньше 8. Поэтому общим решением будет интервал, где \(x\) меньше наименьшего из чисел 5 и 8. Наименьшее число из 5 и 8 - это 5. Значит, общим решением системы неравенств является \(x < 5\). В интервальной записи это выглядит как \( (-\infty; 5) \). Шаг 4: Выбираем правильный вариант ответа. Среди предложенных вариантов: 1. \( (5; +\infty) \) 2. \( (-\infty; 8) \) 3. \( (5; 8) \) 4. \( (-\infty; 5) \) Наш результат \( (-\infty; 5) \) совпадает с четвертым вариантом. Окончательный ответ: \( (-\infty; 5) \)