Решение задачи: Нахождение высоты пирамиды

Задача Дано: Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами \(a = 8\) дм и \(b = 4\sqrt{5}\) дм. Боковые ребра пирамиды равны \(L = 10\) дм. Найти: высоту пирамиды \(H\). Решение: 1. Так как все боковые ребра пирамиды равны, вершина пирамиды проектируется в центр описанной около основания окружности. Для прямоугольника этот центр совпадает с точкой пересечения его диагоналей. 2. Найдем длину диагонали \(d\) прямоугольника в основании по теореме Пифагора: \[d = \sqrt{a^2 + b^2}\] Подставим значения: \[d = \sqrt{8^2 + (4\sqrt{5})^2} = \sqrt{64 + 16 \cdot 5} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12 \text{ (дм)}\] 3. Радиус \(R\) описанной около основания окружности равен половине диагонали: \[R = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ (дм)}\] 4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \(H\), радиусом \(R\) и боковым ребром \(L\). По теореме Пифагора: \[H^2 + R^2 = L^2\] Отсюда выразим высоту: \[H = \sqrt{L^2 - R^2}\] Подставим значения: \[H = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ (дм)}\] Ответ: высота пирамиды равна 8 дм.