5. Внесите множитель под знак корня:
а) \(m\sqrt{7}\), где \(m < 0\);
Решение:
Так как \(m < 0\), то \(m = -\sqrt{m^2}\).
Тогда \(m\sqrt{7} = -\sqrt{m^2} \cdot \sqrt{7} = -\sqrt{7m^2}\).
Ответ: \(-\sqrt{7m^2}\).
б) \(x^3\sqrt{3}\), где \(x < 0\);
Решение:
Так как \(x < 0\), то \(x^3 < 0\).
Тогда \(x^3 = -\sqrt{(x^3)^2} = -\sqrt{x^6}\).
Значит, \(x^3\sqrt{3} = -\sqrt{x^6} \cdot \sqrt{3} = -\sqrt{3x^6}\).
Ответ: \(-\sqrt{3x^6}\).
в) \(a\sqrt{-a}\);
Решение:
Для того чтобы выражение \(\sqrt{-a}\) имело смысл, должно быть \(-a \ge 0\), то есть \(a \le 0\).
Если \(a = 0\), то \(0\sqrt{0} = 0\).
Если \(a < 0\), то \(a = -\sqrt{a^2}\).
Тогда \(a\sqrt{-a} = -\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{-a} = -\sqrt{a^2(-a)} = -\sqrt{-a^3}\).
Ответ: \(-\sqrt{-a^3}\).
г) \(b\sqrt{\frac{5}{b}}\);
Решение:
Для того чтобы выражение \(\sqrt{\frac{5}{b}}\) имело смысл, должно быть \(\frac{5}{b} > 0\), то есть \(b > 0\).
Если \(b > 0\), то \(b = \sqrt{b^2}\).
Тогда \(b\sqrt{\frac{5}{b}} = \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{\frac{5}{b}} = \sqrt{b^2 \cdot \frac{5}{b}} = \sqrt{5b}\).
Ответ: \(\sqrt{5b}\).
д) \((m+n)\sqrt{m+n}\);
Решение:
Для того чтобы выражение \(\sqrt{m+n}\) имело смысл, должно быть \(m+n \ge 0\).
Если \(m+n \ge 0\), то \(m+n = \sqrt{(m+n)^2}\).
Тогда \((m+n)\sqrt{m+n} = \sqrt{(m+n)^2} \cdot \sqrt{m+n} = \sqrt{(m+n)^2(m+n)} = \sqrt{(m+n)^3}\).
Ответ: \(\sqrt{(m+n)^3}\).
е) \((b-a)\sqrt{a-b}\).
Решение:
Для того чтобы выражение \(\sqrt{a-b}\) имело смысл, должно быть \(a-b \ge 0\), то есть \(a \ge b\).
Если \(a = b\), то \((b-a)\sqrt{a-b} = 0\sqrt{0} = 0\).
Если \(a > b\), то \(b-a < 0\).
Тогда \(b-a = -(a-b) = -\sqrt{(a-b)^2}\).
Значит, \((b-a)\sqrt{a-b} = -\sqrt{(a-b)^2} \cdot \sqrt{a-b} = -\sqrt{(a-b)^2(a-b)} = -\sqrt{(a-b)^3}\).
Ответ: \(-\sqrt{(a-b)^3}\).
6. Упростите выражение:
а) \((b-5)\sqrt{\frac{3}{b^2-10b+25}}\), где \(b > 5\);
Решение:
Заметим, что \(b^2-10b+25 = (b-5)^2\).
Тогда \((b-5)\sqrt{\frac{3}{(b-5)^2}}\).
Так как \(b > 5\), то \(b-5 > 0\).
Значит, \(\sqrt{(b-5)^2} = |b-5| = b-5\).
Получаем: \((b-5)\frac{\sqrt{3}}{|b-5|} = (b-5)\frac{\sqrt{3}}{b-5} = \sqrt{3}\).
Ответ: \(\sqrt{3}\).
б) \((a+b)\sqrt{\frac{1}{a^2+2ab+b^2}}\), где \(a+b < 0\).
Решение:
Заметим, что \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\).
Тогда \((a+b)\sqrt{\frac{1}{(a+b)^2}}\).
Так как \(a+b < 0\), то \(\sqrt{(a+b)^2} = |a+b| = -(a+b)\).
Получаем: \((a+b)\frac{1}{|a+b|} = (a+b)\frac{1}{-(a+b)} = -1\).
Ответ: \(-1\).
III С-22. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
1. Упростите выражение:
1) а) \(2\sqrt{a}+6\sqrt{a}-7\sqrt{a}\);
Решение:
\(2\sqrt{a}+6\sqrt{a}-7\sqrt{a} = (2+6-7)\sqrt{a} = 1\sqrt{a} = \sqrt{a}\).
Ответ: \(\sqrt{a}\).
б) \(\sqrt{49c}-\sqrt{16c}+\sqrt{25c}\);
Решение:
\(\sqrt{49c}-\sqrt{16c}+\sqrt{25c} = \sqrt{49}\sqrt{c}-\sqrt{16}\sqrt{c}+\sqrt{25}\sqrt{c} = 7\sqrt{c}-4\sqrt{c}+5\sqrt{c} = (7-4+5)\sqrt{c} = 8\sqrt{c}\).
Ответ: \(8\sqrt{c}\).
г) \(\sqrt{32}+\sqrt{18}-\sqrt{50}\);
Решение:
\(\sqrt{32}+\sqrt{18}-\sqrt{50} = \sqrt{16 \cdot 2}+\sqrt{9 \cdot 2}-\sqrt{25 \cdot 2} = 4\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5\sqrt{2} = (4+3-5)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\).
Ответ: \(2\sqrt{2}\).
2) а) \(\sqrt{8m}-0,2\sqrt{200m}+3\sqrt{72m}\);
Решение:
\(\sqrt{8m}-0,2\sqrt{200m}+3\sqrt{72m} = \sqrt{4 \cdot 2m}-0,2\sqrt{100 \cdot 2m}+3\sqrt{36 \cdot 2m}\)
\(= 2\sqrt{2m}-0,2 \cdot 10\sqrt{2m}+3 \cdot 6\sqrt{2m}\)
\(= 2\sqrt{2m}-2\sqrt{2m}+18\sqrt{2m} = (2-2+18)\sqrt{2m} = 18\sqrt{2m}\).
Ответ: \(18\sqrt{2m}\).
б) \(3\sqrt{12b}+0,5\sqrt{108b}-2\sqrt{48b}+0,01\sqrt{300b}\);
Решение:
\(3\sqrt{12b}+0,5\sqrt{108b}-2\sqrt{48b}+0,01\sqrt{300b}\)
\(= 3\sqrt{4 \cdot 3b}+0,5\sqrt{36 \cdot 3b}-2\sqrt{16 \cdot 3b}+0,01\sqrt{100 \cdot 3b}\)
\(= 3 \cdot 2\sqrt{3b}+0,5 \cdot 6\sqrt{3b}-2 \cdot 4\sqrt{3b}+0,01 \cdot 10\sqrt{3b}\)
\(= 6\sqrt{3b}+3\sqrt{3b}-8\sqrt{3b}+0,1\sqrt{3b}\)
\(= (6+3-8+0,1)\sqrt{3b} = (9-8+0,1)\sqrt{3b} = (1+0,1)\sqrt{3b} = 1,1\sqrt{3b}\).
Ответ: \(1,1\sqrt{3b}\).
3) а) \(\sqrt{6}(\sqrt{24}-\sqrt{54})\);
Решение:
\(\sqrt{6}(\sqrt{24}-\sqrt{54}) = \sqrt{6 \cdot 24}-\sqrt{6 \cdot 54} = \sqrt{144}-\sqrt{324} = 12-18 = -6\).
Ответ: \(-6\).
б) \(2\sqrt{3}(3-4\sqrt{75})-3\sqrt{12}\);
Решение:
\(2\sqrt{3}(3-4\sqrt{75})-3\sqrt{12} = 2\sqrt{3} \cdot 3 - 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{75} - 3\sqrt{4 \cdot 3}\)
\(= 6\sqrt{3} - 8\sqrt{3 \cdot 75} - 3 \cdot 2\sqrt{3}\)
\(= 6\sqrt{3} - 8\sqrt{225} - 6\sqrt{3}\)
\(= 6\sqrt{3} - 8 \cdot 15 - 6\sqrt{3}\)
\(= 6\sqrt{3} - 120 - 6\sqrt{3} = -120\).
Ответ: \(-120\).
г) \(\sqrt{18}-(\sqrt{14}-2\sqrt{7})\sqrt{7}\).
Решение:
\(\sqrt{18}-(\sqrt{14}-2\sqrt{7})\sqrt{7} = \sqrt{9 \cdot 2} - (\sqrt{14}\sqrt{7}-2\sqrt{7}\sqrt{7})\)
\(= 3\sqrt{2} - (\sqrt{14 \cdot 7}-2 \cdot 7)\)
\(= 3\sqrt{2} - (\sqrt{98}-14)\)
\(= 3\sqrt{2} - (\sqrt{49 \cdot 2}-14)\)
\(= 3\sqrt{2} - (7\sqrt{2}-14)\)
\(= 3\sqrt{2} - 7\sqrt{2} + 14 = -4\sqrt{2}+14\).
Ответ: \(14-4\sqrt{2}\).
2. Выполните действия:
1) а) \((1-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})\);
Решение:
\((1-\sqrt{2})(3+\sqrt{2}) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 3 - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\)
\(= 3 + \sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 2 = (3-2) + (\sqrt{2}-3\sqrt{2}) = 1 - 2\sqrt{2}\).
Ответ: \(1-2\sqrt{2}\).
б) \((\sqrt{5}-\sqrt{18})(\sqrt{5}-2\sqrt{2})\);
Решение:
Сначала упростим \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\).
Тогда \((\sqrt{5}-3\sqrt{2})(\sqrt{5}-2\sqrt{2})\)
\(= \sqrt{5}\sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2}\sqrt{5} + 3\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}\)
\(= 5 - 2\sqrt{10} - 3\sqrt{10} + 6 \cdot 2\)
\(= 5 - 5\sqrt{10} + 12 = 17 - 5\sqrt{10}\).
Ответ: \(17-5\sqrt{10}\).
г) \((2\sqrt{7}+\sqrt{12})(\sqrt{12}-\sqrt{7})-\sqrt{84}\);
Решение:
Упростим \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\).
Упростим \(\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}\).
Тогда \((2\sqrt{7}+2\sqrt{3})(2\sqrt{3}-\sqrt{7})-2\sqrt{21}\).
Заметим, что \((2\sqrt{7}+2\sqrt{3})(2\sqrt{3}-\sqrt{7}) = (2\sqrt{3}+2\sqrt{7})(2\sqrt{3}-\sqrt{7})\).
Это не формула разности квадратов. Раскроем скобки:
\((2\sqrt{7}+2\sqrt{3})(2\sqrt{3}-\sqrt{7}) = 2\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{3} - 2\sqrt{7}\sqrt{7} + 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\sqrt{7}\)
\(= 4\sqrt{21} - 2 \cdot 7 + 4 \cdot 3 - 2\sqrt{21}\)
\(= 4\sqrt{21} - 14 + 12 - 2\sqrt{21}\)
\(= (4\sqrt{21}-2\sqrt{21}) + (-14+12) = 2\sqrt{21}-2\).
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
\(2\sqrt{21}-2 - 2\sqrt{21} = -2\).
Ответ: \(-2\).
2) а) \((b+\sqrt{k})(b-\sqrt{k})\);
Решение: <