Вариант 1
1. Сравнить:
1) \( \sqrt{26} \) и \( 5 \); Чтобы сравнить \( \sqrt{26} \) и \( 5 \), возведем оба числа в квадрат: \( (\sqrt{26})^2 = 26 \) \( 5^2 = 25 \) Так как \( 26 > 25 \), то \( \sqrt{26} > 5 \). Ответ: \( \sqrt{26} > 5 \).2) \( 6\sqrt{3} \) и \( 5\sqrt{4} \). Сначала упростим \( 5\sqrt{4} \): \( 5\sqrt{4} = 5 \cdot 2 = 10 \) Теперь сравним \( 6\sqrt{3} \) и \( 10 \). Возведем оба числа в квадрат: \( (6\sqrt{3})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108 \) \( 10^2 = 100 \) Так как \( 108 > 100 \), то \( 6\sqrt{3} > 10 \). Значит, \( 6\sqrt{3} > 5\sqrt{4} \). Ответ: \( 6\sqrt{3} > 5\sqrt{4} \).
2. Вычислить:
1) \( \sqrt{0,36 \cdot 121} \); Используем свойство \( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \): \( \sqrt{0,36 \cdot 121} = \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{121} \) \( \sqrt{0,36} = 0,6 \) \( \sqrt{121} = 11 \) \( 0,6 \cdot 11 = 6,6 \) Ответ: \( 6,6 \).2) \( \sqrt{80 \cdot 0,2} \); Сначала перемножим числа под корнем: \( 80 \cdot 0,2 = 16 \) Теперь извлечем корень: \( \sqrt{16} = 4 \) Ответ: \( 4 \).
3) \( \frac{\sqrt{216}}{\sqrt{6}} \); Используем свойство \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \): \( \frac{\sqrt{216}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{216}{6}} \) Выполним деление под корнем: \( \frac{216}{6} = 36 \) Теперь извлечем корень: \( \sqrt{36} = 6 \) Ответ: \( 6 \).
4) \( \sqrt{(-8)^4} \). Используем свойство \( \sqrt{a^2} = |a| \). Здесь у нас \( \sqrt{((-8)^2)^2} \). \( (-8)^4 = ((-8)^2)^2 = (64)^2 \) \( \sqrt{(-8)^4} = \sqrt{(64)^2} = 64 \) Или можно так: \( \sqrt{(-8)^4} = \sqrt{8^4} = 8^2 = 64 \) Ответ: \( 64 \).
3. Упростить выражение:
1) \( (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 \); Используем формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \): \( (\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 \) \( = 7 - 2\sqrt{7 \cdot 3} + 3 \) \( = 7 - 2\sqrt{21} + 3 \) \( = 10 - 2\sqrt{21} \) Ответ: \( 10 - 2\sqrt{21} \).2) \( (\sqrt{10} - 8)(\sqrt{10} + 8) \); Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \): \( (\sqrt{10} - 8)(\sqrt{10} + 8) = (\sqrt{10})^2 - 8^2 \) \( = 10 - 64 \) \( = -54 \) Ответ: \( -54 \).
3) \( 2\sqrt{50} - 3\sqrt{8} + \sqrt{2} \). Разложим числа под корнями на множители, чтобы выделить полные квадраты: \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \) \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \) Подставим эти значения в выражение: \( 2 \cdot (5\sqrt{2}) - 3 \cdot (2\sqrt{2}) + \sqrt{2} \) \( = 10\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + \sqrt{2} \) Теперь сложим коэффициенты при \( \sqrt{2} \): \( = (10 - 6 + 1)\sqrt{2} \) \( = 5\sqrt{2} \) Ответ: \( 5\sqrt{2} \).
4. Сократить дроби:
a) \( \frac{3 - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \); Чтобы сократить дробь, вынесем общий множитель в числителе. Заметим, что \( 3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \). \( \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} \) Вынесем \( \sqrt{3} \) из числителя: \( \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2\sqrt{3}} \) Сократим \( \sqrt{3} \) в числителе и знаменателе: \( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \).б) \( \frac{4a - 3}{2\sqrt{a} - \sqrt{3}} \). Заметим, что числитель \( 4a - 3 \) можно представить как разность квадратов, если \( 4a = (2\sqrt{a})^2 \) и \( 3 = (\sqrt{3})^2 \). Тогда \( 4a - 3 = (2\sqrt{a})^2 - (\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{a} - \sqrt{3})(2\sqrt{a} + \sqrt{3}) \). Подставим это в дробь: \( \frac{(2\sqrt{a} - \sqrt{3})(2\sqrt{a} + \sqrt{3})}{2\sqrt{a} - \sqrt{3}} \) Сократим общий множитель \( (2\sqrt{a} - \sqrt{3}) \) в числителе и знаменателе: \( 2\sqrt{a} + \sqrt{3} \) Ответ: \( 2\sqrt{a} + \sqrt{3} \).
5. Решить уравнение графически \( \sqrt{x} = x \).
Для графического решения построим графики двух функций: \( y_1 = \sqrt{x} \) \( y_2 = x \) График \( y_1 = \sqrt{x} \) - это ветвь параболы, лежащая в первой четверти. Некоторые точки для \( y_1 = \sqrt{x} \): При \( x=0 \), \( y_1 = \sqrt{0} = 0 \) При \( x=1 \), \( y_1 = \sqrt{1} = 1 \) При \( x=4 \), \( y_1 = \sqrt{4} = 2 \) При \( x=9 \), \( y_1 = \sqrt{9} = 3 \) График \( y_2 = x \) - это прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов к осям. Некоторые точки для \( y_2 = x \): При \( x=0 \), \( y_2 = 0 \) При \( x=1 \), \( y_2 = 1 \) При \( x=2 \), \( y_2 = 2 \) Построив эти графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках: 1. \( (0, 0) \) 2. \( (1, 1) \) Координаты \( x \) этих точек пересечения и являются решениями уравнения. Ответ: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 1 \).6. Исключить иррациональность из знаменателя дроби:
1) \( \frac{3}{\sqrt{21}} \); Чтобы исключить иррациональность из знаменателя, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{21} \): \( \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{3 \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{21}} \) \( = \frac{3\sqrt{21}}{21} \) Сократим дробь на 3: \( = \frac{\sqrt{21}}{7} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{21}}{7} \).2) \( \frac{1}{5 - \sqrt{7}} \). Чтобы исключить иррациональность из знаменателя, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю. Сопряженное к \( 5 - \sqrt{7} \) это \( 5 + \sqrt{7} \). Используем формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \). \( \frac{1}{5 - \sqrt{7}} = \frac{1 \cdot (5 + \sqrt{7})}{(5 - \sqrt{7})(5 + \sqrt{7})} \) \( = \frac{5 + \sqrt{7}}{5^2 - (\sqrt{7})^2} \) \( = \frac{5 + \sqrt{7}}{25 - 7} \) \( = \frac{5 + \sqrt{7}}{18} \) Ответ: \( \frac{5 + \sqrt{7}}{18} \).