Определение возраста мамонта по радиоактивному распаду 14C

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь:

Задача 4. Период полураспада радиоактивного ¹⁴C равен 5700 лет. В живом организме поддерживается постоянное количество ¹⁴C. В останках мамонта содержание ¹⁴C составило 8,5 % от исходного. Сколько лет назад жил мамонт?

Дано:

Период полураспада \(T_{1/2} = 5700\) лет

Остаточное содержание ¹⁴C \(N = 8,5\%\) от исходного \(N_0\)

Найти:

Время \(t\) (возраст мамонта)

Решение:

Закон радиоактивного распада описывается формулой:

\[N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\]

где:

• \(N\) — количество радиоактивного изотопа, оставшееся через время \(t\);
• \(N_0\) — начальное количество радиоактивного изотопа;
• \(t\) — прошедшее время;
• \(T_{1/2}\) — период полураспада.

По условию задачи, остаточное содержание ¹⁴C составляет 8,5% от исходного. Это можно записать как:

\[N = 0,085 \cdot N_0\]

Подставим это выражение в формулу радиоактивного распада:

\[0,085 \cdot N_0 = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\]

Разделим обе части уравнения на \(N_0\):

\[0,085 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\]

Чтобы найти \(t\), нам нужно взять логарифм от обеих частей уравнения. Удобнее использовать натуральный логарифм (ln):

\[\ln(0,085) = \ln\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}\right)\]

Используя свойство логарифма \(\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)\), получаем:

\[\ln(0,085) = \frac{t}{T_{1/2}} \cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)\]

Мы знаем, что \(\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(1) - \ln(2) = 0 - \ln(2) = -\ln(2)\). Также можно использовать \(\ln(0,5)\).

Подставим это:

\[\ln(0,085) = \frac{t}{T_{1/2}} \cdot (-\ln(2))\]

Выразим \(t\):

\[t = \frac{\ln(0,085)}{-\ln(2)} \cdot T_{1/2}\] \[t = \frac{\ln(0,085)}{\ln(2)} \cdot (-T_{1/2})\]

Или, что то же самое:

\[t = \frac{\ln(0,085)}{\ln(0,5)} \cdot T_{1/2}\]

Теперь подставим числовые значения:

\(\ln(0,085) \approx -2,465\) (используем калькулятор)

\(\ln(0,5) \approx -0,693\) (используем калькулятор)

\(T_{1/2} = 5700\) лет

\[t = \frac{-2,465}{-0,693} \cdot 5700\] \[t \approx 3,557 \cdot 5700\] \[t \approx 20274,9\]

Округлим до целых лет:

\[t \approx 20275\] лет

Ответ: Мамонт жил примерно 20275 лет назад.