Решение задачи: Эпюра продольных сил при растяжении-сжатии

Хорошо, давайте решим задачи из экзаменационного билета по механике.

Задача 1. Построить эпюру продольных сил при растяжении-сжатии стержня \(F_1 = 20 \text{ кН}\); \(F_2 = 10 \text{ кН}\).

Для построения эпюры продольных сил (эпюры \(N\)) необходимо определить внутренние продольные силы в каждом участке стержня. 1. **Разбиваем стержень на участки.** Стержень имеет два участка, разделенные точкой приложения силы \(F_2\). 2. **Определяем реакции опор.** Стержень жестко закреплен с левой стороны. Пусть реакция опоры будет \(R_A\). Уравнение равновесия: \[\sum F_x = 0\] \[R_A - F_2 + F_1 = 0\] \[R_A - 10 \text{ кН} + 20 \text{ кН} = 0\] \[R_A + 10 \text{ кН} = 0\] \[R_A = -10 \text{ кН}\] Отрицательный знак означает, что реакция \(R_A\) направлена влево. 3. **Определяем продольные силы на участках.** * **Участок I (от левой опоры до силы \(F_2\)):** Рассмотрим сечение на этом участке. \[N_I = R_A = -10 \text{ кН}\] Знак минус означает сжатие. * **Участок II (от силы \(F_2\) до силы \(F_1\)):** Рассмотрим сечение на этом участке. \[N_{II} = R_A - F_2 = -10 \text{ кН} - 10 \text{ кН} = -20 \text{ кН}\] Или, если смотреть справа налево: \[N_{II} = -F_1 = -20 \text{ кН}\] Знак минус означает сжатие. 4. **Строим эпюру продольных сил.** Эпюра будет выглядеть следующим образом: * На первом участке (длиной \(a\)) значение \(N = -10 \text{ кН}\). * На втором участке (длиной \(a\)) значение \(N = -20 \text{ кН}\). (Здесь должна быть нарисована эпюра. Представьте горизонтальную линию, от которой вниз откладываются значения. На первом участке прямоугольник высотой 10, на втором - высотой 20. Оба значения отрицательные, то есть сжатие.)

Задача 2. Стержень площадью \(A = 30 \text{ мм}^2\) нагружается усилием \(N = 18000 \text{ Н}\). Найти относительное удлинение \(\varepsilon\), если модуль упругости \(E = 2 \cdot 10^5 \text{ МПа}\).

Для решения этой задачи используем закон Гука. 1. **Переводим все величины в единую систему измерений (СИ).** * Площадь \(A = 30 \text{ мм}^2 = 30 \cdot (10^{-3} \text{ м})^2 = 30 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2\). * Усилие \(N = 18000 \text{ Н}\). * Модуль упругости \(E = 2 \cdot 10^5 \text{ МПа} = 2 \cdot 10^5 \cdot 10^6 \text{ Па} = 2 \cdot 10^{11} \text{ Па}\). 2. **Находим нормальное напряжение \(\sigma\).** \[\sigma = \frac{N}{A}\] \[\sigma = \frac{18000 \text{ Н}}{30 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} = \frac{18000}{30} \cdot 10^6 \text{ Па} = 600 \cdot 10^6 \text{ Па} = 600 \text{ МПа}\] 3. **Находим относительное удлинение \(\varepsilon\) по закону Гука.** \[\sigma = E \cdot \varepsilon\] Отсюда: \[\varepsilon = \frac{\sigma}{E}\] \[\varepsilon = \frac{600 \cdot 10^6 \text{ Па}}{2 \cdot 10^{11} \text{ Па}} = \frac{600}{2 \cdot 10^5} = \frac{300}{10^5} = 0.003\] **Ответ:** Относительное удлинение \(\varepsilon = 0.003\).

Задача 3. Построить эпюру изгибающих моментов.

Дана балка с жесткой заделкой слева, нагруженная силой \(F = 9 \text{ кН}\) и моментом \(M = 19 \text{ кН} \cdot \text{м}\). Длины участков по 3 метра. 1. **Определяем реакции в заделке.** В заделке возникают вертикальная реакция \(R_A\) и реактивный момент \(M_A\). * **Сумма сил по вертикали:** \[\sum F_y = 0\] \[R_A - F = 0\] \[R_A = F = 9 \text{ кН}\] Реакция \(R_A\) направлена вверх. * **Сумма моментов относительно точки заделки (А):** \[\sum M_A = 0\] \[-M_A - F \cdot (3 \text{ м}) + M = 0\] \[-M_A - 9 \text{ кН} \cdot 3 \text{ м} + 19 \text{ кН} \cdot \text{м} = 0\] \[-M_A - 27 \text{ кН} \cdot \text{м} + 19 \text{ кН} \cdot \text{м} = 0\] \[-M_A - 8 \text{ кН} \cdot \text{м} = 0\] \[M_A = -8 \text{ кН} \cdot \text{м}\] Отрицательный знак означает, что реактивный момент \(M_A\) направлен по часовой стрелке (противоположно принятому положительному направлению). 2. **Определяем изгибающие моменты на участках.** * **Участок I (от заделки до силы \(F\), \(0 \le x \le 3 \text{ м}\)):** Рассмотрим сечение на расстоянии \(x\) от заделки. \[M_x = M_A + R_A \cdot x\] \[M_x = -8 \text{ кН} \cdot \text{м} + 9 \text{ кН} \cdot x\] При \(x = 0\): \(M_0 = -8 \text{ кН} \cdot \text{м}\). При \(x = 3 \text{ м}\): \(M_3 = -8 + 9 \cdot 3 = -8 + 27 = 19 \text{ кН} \cdot \text{м}\). * **Участок II (от силы \(F\) до момента \(M\), \(3 \text{ м} \le x \le 6 \text{ м}\)):** Рассмотрим сечение на расстоянии \(x\) от заделки. \[M_x = M_A + R_A \cdot x - F \cdot (x - 3)\] \[M_x = -8 + 9x - 9(x - 3)\] \[M_x = -8 + 9x - 9x + 27\] \[M_x = 19 \text{ кН} \cdot \text{м}\] На этом участке изгибающий момент постоянен и равен 19 кН·м. Это логично, так как в конце участка приложен момент 19 кН·м, который уравновешивает внутренний момент. 3. **Строим эпюру изгибающих моментов.** (Здесь должна быть нарисована эпюра. Представьте горизонтальную линию. В начале (заделка) значение -8. Затем линейно возрастает до +19 в точке приложения силы F. Далее остается постоянным +19 до конца балки.)

Задача 4. Дано: \(N = 800 \text{ Н}\); \(Q = 3000 \text{ Н}\); \(M = 40 \text{ Н} \cdot \text{мм}\); \(A = 40 \text{ мм}^2\); \(W = 100 \text{ мм}^3\). Найти напряжение растяжения.

Напряжение растяжения (нормальное напряжение) в общем случае складывается из напряжения от продольной силы и напряжения от изгибающего момента. 1. **Напряжение от продольной силы \(N\):** \[\sigma_N = \frac{N}{A}\] \[\sigma_N = \frac{800 \text{ Н}}{40 \text{ мм}^2} = 20 \text{ Н/мм}^2 = 20 \text{ МПа}\] 2. **Напряжение от изгибающего момента \(M\):** \[\sigma_M = \frac{M}{W}\] \[\sigma_M = \frac{40 \text{ Н} \cdot \text{мм}}{100 \text{ мм}^3} = 0.4 \text{ Н/мм}^2 = 0.4 \text{ МПа}\] 3. **Полное напряжение растяжения.** Если не указано иное, предполагается, что растягивающие напряжения от \(N\) и \(M\) действуют в одном направлении (например, на одной из крайних волокон). \[\sigma = \sigma_N + \sigma_M\] \[\sigma = 20 \text{ МПа} + 0.4 \text{ МПа} = 20.4 \text{ МПа}\] *Примечание:* Сила \(Q\) (поперечная сила) вызывает касательные напряжения, которые не являются напряжением растяжения. **Ответ:** Напряжение растяжения составляет \(20.4 \text{ МПа}\).

Задача 5. При проверочном расчете определяют ...

При проверочном расчете определяют: 1. Допускаемые напряжения. 2. Размеры детали. 3. Механические свойства. 4. Деформацию. 5. Расчетное напряжение. (Это вопрос на знание этапов расчета. Обычно при проверочном расчете, имея размеры детали и нагрузки, определяют фактические напряжения и сравнивают их с допускаемыми. Также могут проверять деформации.)

Задача 6. Как называется эта диаграмма?

Диаграмма, изображенная на рисунке (с \(\sigma\) по вертикали и \(\varepsilon\) по горизонтали, показывающая рост напряжения, затем площадку текучести, упрочнение и разрушение), называется **диаграммой растяжения (или диаграммой "напряжение-деформация")**.

Задача 7. Какой внутренний силовой фактор вызывает деформацию сдвига?

Деформацию сдвига вызывают: 1. Сила \(Q\) (поперечная сила) 2. Момент \(M_z\) (крутящий момент, обозначаемый также \(T\)) Из предложенных вариантов: 1. Сила \(Q\) (поперечная сила) 2. Момент \(M_z\) (изгибающий момент вокруг оси z) 3. Момент \(T\) (крутящий момент) 4. Момент \(M_y\) (изгибающий момент вокруг оси y) 5. Сила \(N\) (продольная сила) Правильные ответы: **1. Сила \(Q\)** и **3. Момент \(T\)**. (Если нужно выбрать один, то чаще всего под деформацией сдвига подразумевают деформацию от поперечной силы или крутящего момента. В контексте балок, поперечная сила \(Q\) вызывает сдвиг.)

Задача 8. Какой деформации соответствует данная эпюра напряжений?

Данная эпюра напряжений (показана в виде двух треугольников, сходящихся к центру, с обозначением \(\tau\)) соответствует **деформации кручения (или сдвига)**. Это эпюра касательных напряжений при кручении вала круглого сечения.

Задача 9. Какая точка соответствует базовому числу циклов?

На диаграмме усталости (кривой Вёлера), где по вертикали отложено напряжение \(\sigma\) и по горизонтали число циклов \(N\), **базовому числу циклов** соответствует точка, после которой кривая становится горизонтальной (или почти горизонтальной), что указывает на предел выносливости материала. На данной диаграмме это точка **Б** (или точка, соответствующая пределу выносливости).

Задача 10. В точке действуют три напряжения: -60 МПа; -30 МПа и 20 МПа. Чему равно эквивалентное напряжение по I-ой теории прочности?

Первая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений) гласит, что разрушение наступает, когда наибольшее по абсолютному значению главное напряжение достигает опасного значения. Даны три главных напряжения: \(\sigma_1 = 20 \text{ МПа}\) \(\sigma_2 = -30 \text{ МПа}\) \(\sigma_3 = -60 \text{ МПа}\) По первой теории прочности, эквивалентное напряжение \(\sigma_{экв}\) равно наибольшему по абсолютному значению главному напряжению. \[\sigma_{экв} = \max(|\sigma_1|, |\sigma_2|, |\sigma_3|)\] \[\sigma_{экв} = \max(|20|, |-30|, |-60|)\] \[\sigma_{экв} = \max(20, 30, 60)\] \[\sigma_{экв} = 60 \text{ МПа}\] **Ответ:** Эквивалентное напряжение по I-ой теории прочности равно \(60 \text{ МПа}\).