Решение задач на перестановки и сочетания: Aₙᵏ и Cₙᵏ

Хорошо, давайте решим эти задачи. Это задачи на вычисление перестановок (P) и сочетаний (C). Напомним формулы: Перестановки из \(n\) элементов по \(k\): \[P_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\] Сочетания из \(n\) элементов по \(k\): \[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\] Также, если \(k=n\), то \(P_n^n = n!\). Давайте решим каждую задачу по порядку.

Задача 7:

\[A_8^2 + C_7^4\] Вычислим каждое слагаемое отдельно: \[A_8^2 = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56\] \[C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35\] Теперь сложим результаты: \[A_8^2 + C_7^4 = 56 + 35 = 91\]

Ответ: 91

Задача 8:

\[A_7^3 + C_9^4\] Вычислим каждое слагаемое отдельно: \[A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210\] \[C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126\] Теперь сложим результаты: \[A_7^3 + C_9^4 = 210 + 126 = 336\]

Ответ: 336

Задача 9:

\[P_5 - A_7^2 + C_6^3\] Вычислим каждое слагаемое отдельно: \[P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\] \[A_7^2 = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7 \times 6 = 42\] \[C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\] Теперь выполним операции: \[P_5 - A_7^2 + C_6^3 = 120 - 42 + 20 = 78 + 20 = 98\]

Ответ: 98

Задача 10:

\[P_7 + A_8^3 + C_7^4\] Вычислим каждое слагаемое отдельно: \[P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\] \[A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336\] \[C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\] Теперь сложим результаты: \[P_7 + A_8^3 + C_7^4 = 5040 + 336 + 35 = 5376 + 35 = 5411\]

Ответ: 5411

Задача 11:

\[P_8 + A_8^4 + C_6^2\] Вычислим каждое слагаемое отдельно: \[P_8 = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320\] \[A_8^4 = \frac{8!}{(8-4)!} = \frac{8!}{4!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680\] \[C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\] Теперь сложим результаты: \[P_8 + A_8^4 + C_6^2 = 40320 + 1680 + 15 = 42000 + 15 = 42015\]

Ответ: 42015

Задача 12:

\[P_4 + A_5^3 + C_9^4\] Вычислим каждое слагаемое отдельно: \[P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\] \[A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60\] \[C_9^4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126\] Теперь сложим результаты: \[P_4 + A_5^3 + C_9^4 = 24 + 60 + 126 = 84 + 126 = 210\]

Ответ: 210

Задача 13:

\[A_{10}^3 + C_8^4\] Вычислим каждое слагаемое отдельно: \[A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720\] \[C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70\] Теперь сложим результаты: \[A_{10}^3 + C_8^4 = 720 + 70 = 790\]

Ответ: 790

Задача 14:

\[P_7 - A_{10}^2 + C_9^5\] Вычислим каждое слагаемое отдельно: \[P_7 = 7! = 5040\] \[A_{10}^2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\] \[C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126\] Теперь выполним операции: \[P_7 - A_{10}^2 + C_9^5 = 5040 - 90 + 126 = 4950 + 126 = 5076\]

Ответ: 5076

Задача 15:

\[P_6 + A_9^2 - C_9^5\] Вычислим каждое слагаемое отдельно: \[P_6 = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\] \[A_9^2 = \frac{9!}{(9-2)!} = \frac{9!}{7!} = 9 \times 8 = 72\] \[C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126\] Теперь выполним операции: \[P_6 + A_9^2 - C_9^5 = 720 + 72 - 126 = 792 - 126 = 666\]

Ответ: 666