Решение задачи: Равнобедренный треугольник NPC

Вот решения задач из варианта №20.
1. В равнобедренном треугольнике \(NPC\) с основанием \(NC\) внешний угол при вершине \(C\) равен \(103^\circ\). Найдите величину угла \(NPC\). Ответ дайте в градусах. Решение: Внешний угол при вершине \(C\) и внутренний угол \(NCP\) являются смежными, поэтому их сумма равна \(180^\circ\). Угол \(NCP = 180^\circ - 103^\circ = 77^\circ\). Так как треугольник \(NPC\) равнобедренный с основанием \(NC\), то углы при основании равны: \(NPC = PNC\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Угол \(NPC + PNC + NCP = 180^\circ\). \(2 \cdot NPC + 77^\circ = 180^\circ\). \(2 \cdot NPC = 180^\circ - 77^\circ\). \(2 \cdot NPC = 103^\circ\). \(NPC = 103^\circ / 2 = 51.5^\circ\). Ответ: \(51.5\).
2. В треугольнике \(ZPC\) известно, что \(ZP = PC\), \(\angle ZPC = 32^\circ\). Найдите угол \(PCZ\). Ответ дайте в градусах. Решение: Так как \(ZP = PC\), треугольник \(ZPC\) является равнобедренным с основанием \(ZC\). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \(\angle PZC = \angle PCZ\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). \(\angle ZPC + \angle PZC + \angle PCZ = 180^\circ\). \(32^\circ + 2 \cdot \angle PCZ = 180^\circ\). \(2 \cdot \angle PCZ = 180^\circ - 32^\circ\). \(2 \cdot \angle PCZ = 148^\circ\). \(\angle PCZ = 148^\circ / 2 = 74^\circ\). Ответ: \(74\).
3. Диагональ прямоугольника образует угол \(67^\circ\) с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах. Решение: Пусть дан прямоугольник \(ABCD\), и диагональ \(AC\) образует угол \(67^\circ\) со стороной \(AB\). То есть \(\angle CAB = 67^\circ\). Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей \(O\). Тогда треугольник \(AOB\) является равнобедренным, так как \(AO = BO\) (половины диагоналей). В равнобедренном треугольнике \(AOB\) углы при основании равны: \(\angle OAB = \angle OBA = 67^\circ\). Сумма углов в треугольнике \(AOB\) равна \(180^\circ\). \(\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ\). \(\angle AOB + 67^\circ + 67^\circ = 180^\circ\). \(\angle AOB + 134^\circ = 180^\circ\). \(\angle AOB = 180^\circ - 134^\circ = 46^\circ\). Угол \(\angle AOB\) является острым углом между диагоналями. Ответ: \(46\).
4. Найдите величину острого угла параллелограмма \(FEOH\), если биссектриса угла \(F\) образует со стороной \(EO\) угол, равный \(12^\circ\). Ответ дайте в градусах. Решение: Пусть биссектриса угла \(F\) пересекает сторону \(EO\) в точке \(K\). Тогда \(\angle EFK = \angle KFH\). Так как \(FEOH\) - параллелограмм, то стороны \(FH\) и \(EO\) параллельны. При параллельных прямых \(FH\) и \(EO\) и секущей \(FK\), накрест лежащие углы равны: \(\angle KFH = \angle FKE\). По условию, биссектриса угла \(F\) образует со стороной \(EO\) угол, равный \(12^\circ\). Это означает, что \(\angle FKE = 12^\circ\). Следовательно, \(\angle KFH = 12^\circ\). Так как \(FK\) - биссектриса угла \(F\), то \(\angle F = 2 \cdot \angle KFH = 2 \cdot 12^\circ = 24^\circ\). Угол \(F\) является острым углом параллелограмма. Ответ: \(24\).
5. В ромбе \(XBHК\) угол \(XBH\) равен \(130^\circ\). Найдите угол \(XHK\). Ответ дайте в градусах. Решение: В ромбе противоположные углы равны, а сумма соседних углов равна \(180^\circ\). Угол \(XBH\) и угол \(BHK\) являются соседними углами. \(\angle XBH + \angle BHK = 180^\circ\). \(130^\circ + \angle BHK = 180^\circ\). \(\angle BHK = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\). Угол \(XHK\) - это тот же угол, что и \(\angle BHK\). Ответ: \(50\).
6. Сторона ромба равна \(76\), а один из углов этого ромба равен \(150^\circ\). Найдите высоту этого ромба. Решение: Пусть сторона ромба \(a = 76\). Один из углов ромба равен \(150^\circ\). Это тупой угол. Острый угол ромба равен \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). Высота ромба \(h\) может быть найдена как \(h = a \cdot \sin(\alpha)\), где \(\alpha\) - острый угол ромба. \(h = 76 \cdot \sin(30^\circ)\). Мы знаем, что \(\sin(30^\circ) = 0.5\). \(h = 76 \cdot 0.5 = 38\). Ответ: \(38\).
7. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины \(A\), делит основание \(XR\) на отрезки длиной \(9\) и \(53\). Найдите длину основания \(MA\). Решение: Пусть трапеция \(MAXR\) равнобедренная, \(MA\) - верхнее основание, \(XR\) - нижнее основание. Высота, проведённая из вершины \(A\) к основанию \(XR\), пусть будет \(AH\). Отрезок \(XH = 9\), отрезок \(HR = 53\). В равнобедренной трапеции, если провести две высоты из верхних вершин к нижнему основанию, то отрезки по краям нижнего основания будут равны. Пусть вторая высота проведена из вершины \(M\) к основанию \(XR\), пусть это будет \(MK\). Тогда \(XK = HR = 9\). (Это неверно, \(XK\) и \(HR\) не равны. Правильно: \(XH\) и \(RY\) равны, где \(Y\) - основание высоты из \(M\)). Давайте перерисуем и обозначим правильно. Пусть трапеция \(MAXR\), \(MA\) - верхнее основание, \(XR\) - нижнее основание. Высота из \(A\) к \(XR\) - это \(AH\). Высота из \(M\) к \(XR\) - это \(MK\). Тогда \(HK = MA\). В равнобедренной трапеции \(XH = (XR - MA) / 2\). Или, если высота \(AH\) делит \(XR\) на отрезки \(XH\) и \(HR\). Тогда \(XH = 9\). \(HR = 53\). Длина нижнего основания \(XR = XH + HR = 9 + 53 = 62\). В равнобедренной трапеции, если провести две высоты из верхних вершин, то отрезки по краям нижнего основания будут равны. Пусть \(A\) и \(M\) - верхние вершины. \(X\) и \(R\) - нижние вершины. Высота из \(A\) падает на \(H\). Высота из \(M\) падает на \(K\). Тогда \(XH = KR\). Длина отрезка \(HK\) равна длине верхнего основания \(MA\). Отрезок \(XR\) делится высотой \(AH\) на отрезки \(XH\) и \(HR\). По условию, эти отрезки \(9\) и \(53\). Значит, \(XH = 9\). Тогда \(KR = 9\). Длина нижнего основания \(XR = XH + HK + KR\). Но это не так. Высота \(AH\) делит основание \(XR\) на отрезки \(XH\) и \(HR\). Значит, \(XH = 9\). \(HR = 53\). Длина нижнего основания \(XR = XH + HR = 9 + 53 = 62\). В равнобедренной трапеции, если провести высоту из вершины \(M\) к основанию \(XR\), пусть это будет \(MK\). Тогда \(XK = (XR - MA) / 2\). Или, если \(AH\) - высота, то \(XH = (XR - MA) / 2\). В данном случае, \(XH = 9\). Отрезок \(HR\) - это \(HK + KR\). \(HK = MA\). \(KR = XH = 9\). Значит, \(HR = MA + KR\). \(53 = MA + 9\). \(MA = 53 - 9 = 44\). Ответ: \(44\).
8. Основания трапеции равны \(22\) и \(30\). Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. Решение: Пусть основания трапеции \(a = 22\) и \(b = 30\). Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Её длина равна \((a+b)/2\). Средняя линия параллельна основаниям. Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка. Эти отрезки являются средними линиями двух треугольников, образованных диагональю и основаниями трапеции. Пусть трапеция \(ABCD\), \(AD\) и \(BC\) - основания. \(MN\) - средняя линия. Диагональ \(AC\) пересекает среднюю линию \(MN\) в точке \(K\). Тогда \(MK\) - средняя линия треугольника \(ABC\). Её длина равна \(BC/2\). \(KN\) - средняя линия треугольника \(ADC\). Её длина равна \(AD/2\). Если \(a = 22\) (верхнее основание) и \(b = 30\) (нижнее основание). Длины отрезков: \(L_1 = a/2 = 22/2 = 11\). \(L_2 = b/2 = 30/2 = 15\). Больший из отрезков равен \(15\). Ответ: \(15\).
9. На клетчатой бумаге с размером клетки \(1 \times 1\) изображена фигура. Найдите длину отрезка \(MS\) по данным чертежа. Решение: Для нахождения длины отрезка \(MS\) используем формулу расстояния между двумя точками на координатной плоскости или теорему Пифагора. Определим координаты точек \(M\) и \(S\). Пусть начало координат находится в левом нижнем углу сетки. Точка \(M\) имеет координаты \((1, 3)\). Точка \(S\) имеет координаты \((6, 5)\). Длина отрезка \(MS\) вычисляется по формуле: \(MS = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). \(MS = \sqrt{(6 - 1)^2 + (5 - 3)^2}\). \(MS = \sqrt{5^2 + 2^2}\). \(MS = \sqrt{25 + 4}\). \(MS = \sqrt{29}\). Ответ: \(\sqrt{29}\).
10. На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\) см \(\times 1\) см изображена трапеция. Найдите длину её средней линии. Решение: Определим длины оснований трапеции по клеткам. Верхнее основание: отсчитываем клетки по горизонтали. Длина верхнего основания \(a = 2\) клетки. Нижнее основание: отсчитываем клетки по горизонтали. Длина нижнего основания \(b = 6\) клеток. Средняя линия трапеции \(m\) вычисляется по формуле: \(m = (a + b) / 2\). \(m = (2 + 6) / 2\). \(m = 8 / 2\). \(m = 4\). Так как размер клетки \(1\) см \(\times 1\) см, то длина средней линии равна \(4\) см. Ответ: \(4\).