Нахождение координат вектора AB по координатам точек

Вот пошаговое решение задач, оформленное так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь. 1. Даны точки \(A(5; -1)\) и \(B(1; 2)\). Найдите координаты вектора \(\vec{AB}\). Решение: Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора. Вектор \(\vec{AB}\) имеет начало в точке \(A(x_A; y_A)\) и конец в точке \(B(x_B; y_B)\). Координаты вектора \(\vec{AB}\) будут \((x_B - x_A; y_B - y_A)\). Дано: \(A(5; -1)\), значит \(x_A = 5\), \(y_A = -1\). \(B(1; 2)\), значит \(x_B = 1\), \(y_B = 2\). Вычисляем координаты вектора \(\vec{AB}\): По оси \(x\): \(1 - 5 = -4\). По оси \(y\): \(2 - (-1) = 2 + 1 = 3\). Ответ: Координаты вектора \(\vec{AB}\) равны \((-4; 3)\). 2. Укажите, какие из данных пар векторов коллинеарны. Два вектора \(\vec{a}(x_1; y_1)\) и \(\vec{b}(x_2; y_2)\) коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть существует такое число \(k\), что \(\vec{b} = k \cdot \vec{a}\) или \(\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}\) (при условии, что \(x_2 \neq 0\) и \(y_2 \neq 0\)). Если одна из координат равна нулю, то и соответствующая координата другого вектора должна быть равна нулю, чтобы они были коллинеарны. а) \(\vec{a}\{-2; 3\}\) и \(\vec{b}\{-4; 6\}\) Проверим пропорциональность координат: \(\frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}\) \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) Так как \(\frac{-2}{-4} = \frac{3}{6}\), то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны. Можно также заметить, что \(\vec{b} = 2 \cdot \vec{a}\), так как \(2 \cdot (-2) = -4\) и \(2 \cdot 3 = 6\). б) \(\vec{e}\{1; 6\}\) и \(\vec{f}\{-1; -6\}\) Проверим пропорциональность координат: \(\frac{1}{-1} = -1\) \(\frac{6}{-6} = -1\) Так как \(\frac{1}{-1} = \frac{6}{-6}\), то векторы \(\vec{e}\) и \(\vec{f}\) коллинеарны. Можно также заметить, что \(\vec{f} = -1 \cdot \vec{e}\), так как \(-1 \cdot 1 = -1\) и \(-1 \cdot 6 = -6\). в) \(\vec{c}\{-1; 3\}\) и \(\vec{d}\{3; -1\}\) Проверим пропорциональность координат: \(\frac{-1}{3}\) \(\frac{3}{-1} = -3\) Так как \(\frac{-1}{3} \neq -3\), то векторы \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) не коллинеарны. г) \(\vec{m}\{-6; -2\}\) и \(\vec{n}\{3; -1\}\) Проверим пропорциональность координат: \(\frac{-6}{3} = -2\) \(\frac{-2}{-1} = 2\) Так как \(-2 \neq 2\), то векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) не коллинеарны. Ответ: Коллинеарными являются пары векторов: а) \(\vec{a}\{-2; 3\}\) и \(\vec{b}\{-4; 6\}\) б) \(\vec{e}\{1; 6\}\) и \(\vec{f}\{-1; -6\}\) 3. Вычислите координаты векторов \(4\vec{a}-5\vec{b}\) и \(-2\vec{a}+3\vec{b}\), если даны векторы \(\vec{a}\{3; -2\}\), \(\vec{b}\{-1; 5\}\). Дано: \(\vec{a}\{3; -2\}\) \(\vec{b}\{-1; 5\}\) Сначала найдем координаты векторов \(4\vec{a}\) и \(5\vec{b}\): Для \(4\vec{a}\): умножаем каждую координату вектора \(\vec{a}\) на 4. \(4\vec{a} = \{4 \cdot 3; 4 \cdot (-2)\} = \{12; -8\}\). Для \(5\vec{b}\): умножаем каждую координату вектора \(\vec{b}\) на 5. \(5\vec{b} = \{5 \cdot (-1); 5 \cdot 5\} = \{-5; 25\}\). Теперь вычислим координаты вектора \(4\vec{a}-5\vec{b}\): Вычитаем соответствующие координаты векторов \(4\vec{a}\) и \(5\vec{b}\). \(4\vec{a}-5\vec{b} = \{12 - (-5); -8 - 25\} = \{12 + 5; -8 - 25\} = \{17; -33\}\). Далее найдем координаты векторов \(-2\vec{a}\) и \(3\vec{b}\): Для \(-2\vec{a}\): умножаем каждую координату вектора \(\vec{a}\) на -2. \(-2\vec{a} = \{-2 \cdot 3; -2 \cdot (-2)\} = \{-6; 4\}\). Для \(3\vec{b}\): умножаем каждую координату вектора \(\vec{b}\) на 3. \(3\vec{b} = \{3 \cdot (-1); 3 \cdot 5\} = \{-3; 15\}\). Теперь вычислим координаты вектора \(-2\vec{a}+3\vec{b}\): Складываем соответствующие координаты векторов \(-2\vec{a}\) и \(3\vec{b}\). \(-2\vec{a}+3\vec{b} = \{-6 + (-3); 4 + 15\} = \{-6 - 3; 4 + 15\} = \{-9; 19\}\). Ответ: Координаты вектора \(4\vec{a}-5\vec{b}\) равны \(\{17; -33\}\). Координаты вектора \(-2\vec{a}+3\vec{b}\) равны \(\{-9; 19\}\). 4. Вычислите координаты векторов \(4\vec{a}-5\vec{b}\) и \(-2\vec{a}+3\vec{b}\), если даны векторы \(\vec{a}\{3; -2\}\), \(\vec{b}\{-1; 5\}\). Эта задача полностью повторяет задачу 3. Решение будет идентичным. Дано: \(\vec{a}\{3; -2\}\) \(\vec{b}\{-1; 5\}\) Вычисляем \(4\vec{a}\): \(4\vec{a} = \{4 \cdot 3; 4 \cdot (-2)\} = \{12; -8\}\). Вычисляем \(5\vec{b}\): \(5\vec{b} = \{5 \cdot (-1); 5 \cdot 5\} = \{-5; 25\}\). Вычисляем \(4\vec{a}-5\vec{b}\): \(4\vec{a}-5\vec{b} = \{12 - (-5); -8 - 25\} = \{12 + 5; -8 - 25\} = \{17; -33\}\). Вычисляем \(-2\vec{a}\): \(-2\vec{a} = \{-2 \cdot 3; -2 \cdot (-2)\} = \{-6; 4\}\). Вычисляем \(3\vec{b}\): \(3\vec{b} = \{3 \cdot (-1); 3 \cdot 5\} = \{-3; 15\}\). Вычисляем \(-2\vec{a}+3\vec{b}\): \(-2\vec{a}+3\vec{b} = \{-6 + (-3); 4 + 15\} = \{-6 - 3; 4 + 15\} = \{-9; 19\}\). Ответ: Координаты вектора \(4\vec{a}-5\vec{b}\) равны \(\{17; -33\}\). Координаты вектора \(-2\vec{a}+3\vec{b}\) равны \(\{-9; 19\}\).