Решение задачи 9: Найти область сходимости степенного ряда

Задание 9. Найти область сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала сходимости: а) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+b)^n \cdot n}{(n^2+2) \cdot 9^n}\), где \(b=1\). б) \(\sum_{n=1}^{\infty} 3^n (x-b)^n\), где \(b=9\). Решение: а) Дан степенной ряд: \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+b)^n \cdot n}{(n^2+2) \cdot 9^n}\). Подставим \(b=1\): \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+1)^n \cdot n}{(n^2+2) \cdot 9^n}\). Это степенной ряд вида \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x-x_0)^n\), где \(x_0 = -1\), а \(a_n = \frac{n}{(n^2+2) \cdot 9^n}\). Найдем радиус сходимости \(R\) по формуле Даламбера: \(R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\). \(a_n = \frac{n}{(n^2+2) \cdot 9^n}\) \(a_{n+1} = \frac{n+1}{((n+1)^2+2) \cdot 9^{n+1}}\) \(\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n}{(n^2+2) \cdot 9^n} \cdot \frac{((n+1)^2+2) \cdot 9^{n+1}}{n+1} = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{(n+1)^2+2}{n^2+2} \cdot \frac{9^{n+1}}{9^n}\) \(\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{n^2+2n+1+2}{n^2+2} \cdot 9 = \frac{n}{n+1} \cdot \frac{n^2+2n+3}{n^2+2} \cdot 9\) Найдем предел: \(R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n}{n+1} \cdot \frac{n^2+2n+3}{n^2+2} \cdot 9 \right|\) \(R = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n(1+\frac{1}{n})} \cdot \frac{n^2(1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2})}{n^2(1+\frac{2}{n^2})} \cdot 9\) \(R = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \cdot \frac{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}} \cdot 9\) \(R = 1 \cdot 1 \cdot 9 = 9\). Радиус сходимости \(R=9\). Интервал сходимости определяется неравенством \(|x-x_0| < R\). В нашем случае \(|x-(-1)| < 9\), то есть \(|x+1| < 9\). Это означает \(-9 < x+1 < 9\). Вычтем 1 из всех частей неравенства: \(-9-1 < x < 9-1\) \(-10 < x < 8\). Интервал сходимости: \((-10, 8)\). Исследуем сходимость на концах интервала. Случай 1: \(x = -10\). Подставим \(x=-10\) в ряд: \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-10+1)^n \cdot n}{(n^2+2) \cdot 9^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-9)^n \cdot n}{(n^2+2) \cdot 9^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot 9^n \cdot n}{(n^2+2) \cdot 9^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cdot n}{n^2+2}\). Это знакопеременный ряд. Применим признак Лейбница. Пусть \(b_n = \frac{n}{n^2+2}\). 1. \(b_n > 0\) для всех \(n \ge 1\). 2. Проверим, является ли последовательность \(b_n\) убывающей. Рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{x}{x^2+2}\). Найдем производную: \(f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+2) - x \cdot (2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{x^2+2-2x^2}{(x^2+2)^2} = \frac{2-x^2}{(x^2+2)^2}\). Для \(x \ge 2\), \(f'(x) < 0\), что означает, что функция убывает. Значит, последовательность \(b_n\) убывает для \(n \ge 2\). 3. Найдем предел \(b_n\): \(\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2(1+\frac{2}{n^2})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(1+\frac{2}{n^2})} = 0\). Все условия признака Лейбница выполнены, следовательно, ряд сходится при \(x=-10\). Случай 2: \(x = 8\). Подставим \(x=8\) в ряд: \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(8+1)^n \cdot n}{(n^2+2) \cdot 9^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{9^n \cdot n}{(n^2+2) \cdot 9^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+2}\). Это знакоположительный ряд. Сравним его с гармоническим рядом \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\), который расходится. Используем предельный признак сравнения: \(\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^2+2}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+2} \cdot n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2(1+\frac{2}{n^2})} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{2}{n^2}} = 1\). Так как предел равен 1 (конечное число, не равное нулю), и ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) расходится, то и ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+2}\) расходится. Следовательно, при \(x=8\) ряд расходится. Область сходимости: \([-10, 8)\). б) Дан степенной ряд: \(\sum_{n=1}^{\infty} 3^n (x-b)^n\). Подставим \(b=9\): \(\sum_{n=1}^{\infty} 3^n (x-9)^n\). Это степенной ряд вида \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x-x_0)^n\), где \(x_0 = 9\), а \(a_n = 3^n\). Найдем радиус сходимости \(R\) по формуле Коши-Адамара: \(R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}\). \(|a_n| = |3^n| = 3^n\). \(\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{3^n} = 3\). \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} 3 = 3\). \(R = \frac{1}{3}\). Радиус сходимости \(R=\frac{1}{3}\). Интервал сходимости определяется неравенством \(|x-x_0| < R\). В нашем случае \(|x-9| < \frac{1}{3}\). Это означает \(-\frac{1}{3} < x-9 < \frac{1}{3}\). Прибавим 9 ко всем частям неравенства: \(9-\frac{1}{3} < x < 9+\frac{1}{3}\) \(\frac{27-1}{3} < x < \frac{27+1}{3}\) \(\frac{26}{3} < x < \frac{28}{3}\). Интервал сходимости: \(\left(\frac{26}{3}, \frac{28}{3}\right)\). Исследуем сходимость на концах интервала. Случай 1: \(x = \frac{26}{3}\). Подставим \(x=\frac{26}{3}\) в ряд: \(\sum_{n=1}^{\infty} 3^n \left(\frac{26}{3}-9\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} 3^n \left(\frac{26-27}{3}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} 3^n \left(-\frac{1}{3}\right)^n\) \(= \sum_{n=1}^{\infty} 3^n \frac{(-1)^n}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\). Это знакопеременный ряд. Общий член ряда \(a_n = (-1)^n\). Найдем предел общего члена: \(\lim_{n \to \infty} (-1)^n\). Этот предел не существует, так как последовательность принимает значения \(-1, 1, -1, 1, \dots\). Поскольку \(\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0\), ряд расходится по необходимому признаку сходимости ряда. Следовательно, при \(x=\frac{26}{3}\) ряд расходится. Случай 2: \(x = \frac{28}{3}\). Подставим \(x=\frac{28}{3}\) в ряд: \(\sum_{n=1}^{\infty} 3^n \left(\frac{28}{3}-9\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} 3^n \left(\frac{28-27}{3}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} 3^n \left(\frac{1}{3}\right)^n\) \(= \sum_{n=1}^{\infty} 3^n \frac{1}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} 1\). Это знакоположительный ряд. Общий член ряда \(a_n = 1\). Найдем предел общего члена: \(\lim_{n \to \infty} 1 = 1\). Поскольку \(\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0\), ряд расходится по необходимому признаку сходимости ряда. Следовательно, при \(x=\frac{28}{3}\) ряд расходится. Область сходимости: \(\left(\frac{26}{3}, \frac{28}{3}\right)\). Ответы: а) Область сходимости: \([-10, 8)\). б) Область сходимости: \(\left(\frac{26}{3}, \frac{28}{3}\right)\).