Решение задачи по тригонометрии: Вариант 3

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Контрольная работа по теме «Тригонометрия»: Вариант 3 №1. Вычислите, приведите необходимые расчеты и иллюстрации. \[ \operatorname{tg} 240^\circ \cdot \cos(-300^\circ) - \operatorname{ctg} 210^\circ \] Решение: Сначала найдем значения каждого тригонометрического выражения. 1. \[ \operatorname{tg} 240^\circ \] Угол \(240^\circ\) находится в III четверти. \[ \operatorname{tg} 240^\circ = \operatorname{tg} (180^\circ + 60^\circ) \] В III четверти тангенс положителен. \[ \operatorname{tg} (180^\circ + 60^\circ) = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3} \] 2. \[ \cos(-300^\circ) \] Косинус является четной функцией, поэтому \(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\). \[ \cos(-300^\circ) = \cos(300^\circ) \] Угол \(300^\circ\) находится в IV четверти. \[ \cos(300^\circ) = \cos(360^\circ - 60^\circ) \] В IV четверти косинус положителен. \[ \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \] 3. \[ \operatorname{ctg} 210^\circ \] Угол \(210^\circ\) находится в III четверти. \[ \operatorname{ctg} 210^\circ = \operatorname{ctg} (180^\circ + 30^\circ) \] В III четверти котангенс положителен. \[ \operatorname{operatorname{ctg}} (180^\circ + 30^\circ) = \operatorname{ctg} 30^\circ = \sqrt{3} \] Теперь подставим найденные значения в исходное выражение: \[ \operatorname{tg} 240^\circ \cdot \cos(-300^\circ) - \operatorname{ctg} 210^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} - \sqrt{3} \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\sqrt{3}}{2} \] \[ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Ответ: \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). №2. Решите задание, приведите необходимые формулы и иллюстрации. Найти \(\cos \alpha\), если \(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{4}\) и \(\alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)\). Решение: Дано: \(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{3}{4}\) и \(\alpha \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)\). Интервал \(\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)\) соответствует III четверти. В III четверти косинус отрицателен. Используем основное тригонометрическое тождество, связывающее котангенс и синус: \[ 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \] Подставим значение \(\operatorname{ctg} \alpha\): \[ 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \] \[ 1 + \frac{9}{16} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \] \[ \frac{16}{16} + \frac{9}{16} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \] \[ \frac{25}{16} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \] Отсюда: \[ \sin^2 \alpha = \frac{16}{25} \] \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \] Поскольку \(\alpha\) находится в III четверти, синус отрицателен. \[ \sin \alpha = -\frac{4}{5} \] Теперь, зная \(\operatorname{ctg} \alpha\) и \(\sin \alpha\), найдем \(\cos \alpha\). Из определения котангенса: \[ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \] Выразим \(\cos \alpha\): \[ \cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha \] Подставим известные значения: \[ \cos \alpha = \frac{3}{4} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \] \[ \cos \alpha = -\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 5} \] \[ \cos \alpha = -\frac{3}{5} \] Проверим знак косинуса. В III четверти косинус должен быть отрицательным, что соответствует нашему результату. Ответ: \(\cos \alpha = -\frac{3}{5}\). №3. Упростите выражение, используя тригонометрические формулы. \[ \frac{\sin 2\alpha}{2 \cos \alpha} - \sin \alpha \] Решение: Используем формулу синуса двойного угла: \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\). Подставим эту формулу в выражение: \[ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{2 \cos \alpha} - \sin \alpha \] Сократим \(2 \cos \alpha\) в числителе и знаменателе (при условии, что \(\cos \alpha \neq 0\)): \[ \sin \alpha - \sin \alpha \] \[ = 0 \] Ответ: \(0\). №4. Решите простейшее тригонометрическое уравнение. \[ \cos \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Решение: Пусть \(y = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{12}\). Тогда уравнение примет вид: \[ \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Общее решение для \(\cos y = a\) имеет вид \(y = \pm \arccos a + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). В нашем случае \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\), и \(\arccos \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}\). Значит: \[ y = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Теперь подставим обратно \(y = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{12}\): \[ \frac{x}{2} - \frac{\pi}{12} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \] Перенесем \(\frac{\pi}{12}\) в правую часть: \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{12} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n \] Рассмотрим два случая: Случай 1: \(+\frac{\pi}{6}\) \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \] Приведем дроби к общему знаменателю: \(\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12}\). \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} + 2\pi n \] \[ \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{12} + 2\pi n \] \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \] Умножим обе части на 2: \[ x = \frac{\pi}{2} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Случай 2: \(-\frac{\pi}{6}\) \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n \] Приведем дроби к общему знаменателю: \(\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12}\). \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + 2\pi n \] \[ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n \] Умножим обе части на 2: \[ x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + 4\pi n\) и \(x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). №5. Решите тригонометрическое уравнение через упрощение. \[ \operatorname{tg}^2 \alpha - 3 = 0 \] Решение: Перенесем константу в правую часть: \[ \operatorname{tg}^2 \alpha = 3 \] Извлечем квадратный корень из обеих частей: \[ \operatorname{tg} \alpha = \pm \sqrt{3} \] Рассмотрим два случая: Случай 1: \(\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3}\) Общее решение для \(\operatorname{tg} \alpha = a\) имеет вид \(\alpha = \operatorname{arctg} a + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). В нашем случае \(a = \sqrt{3}\), и \(\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}\). \[ \alpha = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Случай 2: \(\operatorname{tg} \alpha = -\sqrt{3}\) В нашем случае \(a = -\sqrt{3}\), и \(\operatorname{arctg} (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}\). \[ \alpha = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Эти два решения можно объединить в одно: \[ \alpha = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \(\alpha = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).