Развёрнутая форма числа в различных системах счисления

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. 5. Запишите в развёрнутой форме числа: 1) \(143,511_{10}\) Развёрнутая форма числа в десятичной системе счисления: \(143,511_{10} = 1 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} + 1 \cdot 10^{-2} + 1 \cdot 10^{-3}\) 2) \(1435,11_8\) Развёрнутая форма числа в восьмеричной системе счисления: \(1435,11_8 = 1 \cdot 8^3 + 4 \cdot 8^2 + 3 \cdot 8^1 + 5 \cdot 8^0 + 1 \cdot 8^{-1} + 1 \cdot 8^{-2}\) 3) \(143,511_{16}\) Развёрнутая форма числа в шестнадцатеричной системе счисления: \(143,511_{16} = 1 \cdot 16^2 + 4 \cdot 16^1 + 3 \cdot 16^0 + 5 \cdot 16^{-1} + 1 \cdot 16^{-2} + 1 \cdot 16^{-3}\) 6. Воспользуйтесь схемой Горнера для представления чисел: Схема Горнера используется для перевода чисел из произвольной системы счисления в десятичную. 1) \(12345_{10}\) Это число уже в десятичной системе счисления, поэтому его представление с помощью схемы Горнера будет выглядеть как последовательное умножение на основание 10 и сложение цифр. \(12345_{10} = (((1 \cdot 10 + 2) \cdot 10 + 3) \cdot 10 + 4) \cdot 10 + 5\) \(1 \cdot 10 + 2 = 12\) \(12 \cdot 10 + 3 = 123\) \(123 \cdot 10 + 4 = 1234\) \(1234 \cdot 10 + 5 = 12345\) 2) \(12345_8\) Переведём число \(12345_8\) в десятичную систему счисления с помощью схемы Горнера. Основание системы счисления \(b = 8\). Цифры числа: \(c_4 = 1, c_3 = 2, c_2 = 3, c_1 = 4, c_0 = 5\). \[ \begin{array}{c|cccccc} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 8 & 1 & 1 \cdot 8 + 2 = 10 & 10 \cdot 8 + 3 = 83 & 83 \cdot 8 + 4 = 668 & 668 \cdot 8 + 5 = 5349 \\ \end{array} \] Таким образом, \(12345_8 = 5349_{10}\). 3) \(0,12345_6\) Для дробных чисел схема Горнера применяется немного иначе. Мы можем представить число как сумму отрицательных степеней основания. \(0,12345_6 = 1 \cdot 6^{-1} + 2 \cdot 6^{-2} + 3 \cdot 6^{-3} + 4 \cdot 6^{-4} + 5 \cdot 6^{-5}\) Или, для перевода в десятичную дробь, можно использовать обратную схему Горнера: \(0,12345_6 = ((((5/6 + 4)/6 + 3)/6 + 2)/6 + 1)/6\) \(5/6 \approx 0,83333\) \((0,83333 + 4)/6 = 4,83333/6 \approx 0,80555\) \((0,80555 + 3)/6 = 3,80555/6 \approx 0,63426\) \((0,63426 + 2)/6 = 2,63426/6 \approx 0,43904\) \((0,43904 + 1)/6 = 1,43904/6 \approx 0,23984\) Таким образом, \(0,12345_6 \approx 0,23984_{10}\). 7. Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел: 1) \(120_3\) Для перевода в десятичную систему счисления используем развёрнутую форму: \(120_3 = 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0\) \(120_3 = 1 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 0 \cdot 1\) \(120_3 = 9 + 6 + 0\) \(120_3 = 15_{10}\) 2) \(100,21_4\) Для перевода в десятичную систему счисления используем развёрнутую форму: \(100,21_4 = 1 \cdot 4^2 + 0 \cdot 4^1 + 0 \cdot 4^0 + 2 \cdot 4^{-1} + 1 \cdot 4^{-2}\) \(100,21_4 = 1 \cdot 16 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{16}\) \(100,21_4 = 16 + 0 + 0 + \frac{2}{4} + \frac{1}{16}\) \(100,21_4 = 16 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16}\) \(100,21_4 = 16 + \frac{8}{16} + \frac{1}{16}\) \(100,21_4 = 16 + \frac{9}{16}\) \(100,21_4 = 16,5625_{10}\) 3) \(5A,124_{16}\) В шестнадцатеричной системе счисления буква A соответствует числу 10. Для перевода в десятичную систему счисления используем развёрнутую форму: \(5A,124_{16} = 5 \cdot 16^1 + A \cdot 16^0 + 1 \cdot 16^{-1} + 2 \cdot 16^{-2} + 4 \cdot 16^{-3}\) \(5A,124_{16} = 5 \cdot 16 + 10 \cdot 1 + 1 \cdot \frac{1}{16} + 2 \cdot \frac{1}{16^2} + 4 \cdot \frac{1}{16^3}\) \(5A,124_{16} = 80 + 10 + \frac{1}{16} + \frac{2}{256} + \frac{4}{4096}\) \(5A,124_{16} = 90 + 0,0625 + 0,0078125 + 0,0009765625\) \(5A,124_{16} = 90,0712890625_{10}\)