Задача 7. Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел:
1) \(120_3\);
2) \(100,21_4\);
3) \(5A,124_{16}\).
Решение:
Для того чтобы перевести число из любой системы счисления в десятичную, нужно представить его в виде суммы произведений цифр числа на степени основания системы счисления. Степень основания соответствует позиции цифры в числе. Для целой части числа степени начинаются с 0 справа налево, а для дробной части — с -1 слева направо после запятой.
1) Переведем число \(120_3\) в десятичную систему счисления.
Число \(120_3\) записано в троичной системе счисления (основание равно 3). Разложим его по степеням основания:
\[120_3 = 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0\]Вычислим значения степеней и произведений:
\[3^2 = 9\] \[3^1 = 3\] \[3^0 = 1\]Подставим эти значения в выражение:
\[1 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 0 \cdot 1\] \[9 + 6 + 0\] \[15\]Таким образом, \(120_3 = 15_{10}\).
Ответ: \(120_3 = 15\).
2) Переведем число \(100,21_4\) в десятичную систему счисления.
Число \(100,21_4\) записано в четверичной системе счисления (основание равно 4). Разложим его по степеням основания, учитывая целую и дробную части:
\[100,21_4 = 1 \cdot 4^2 + 0 \cdot 4^1 + 0 \cdot 4^0 + 2 \cdot 4^{-1} + 1 \cdot 4^{-2}\]Вычислим значения степеней и произведений:
\[4^2 = 16\] \[4^1 = 4\] \[4^0 = 1\] \[4^{-1} = \frac{1}{4} = 0,25\] \[4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0,0625\]Подставим эти значения в выражение:
\[1 \cdot 16 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0,25 + 1 \cdot 0,0625\] \[16 + 0 + 0 + 0,5 + 0,0625\] \[16,5625\]Таким образом, \(100,21_4 = 16,5625_{10}\).
Ответ: \(100,21_4 = 16,5625\).
3) Переведем число \(5A,124_{16}\) в десятичную систему счисления.
Число \(5A,124_{16}\) записано в шестнадцатеричной системе счисления (основание равно 16). В шестнадцатеричной системе счисления буквы соответствуют следующим десятичным числам:
- A = 10
- B = 11
- C = 12
- D = 13
- E = 14
- F = 15
В нашем числе есть буква A, которая соответствует десятичному числу 10.
Разложим число \(5A,124_{16}\) по степеням основания, учитывая целую и дробную части:
\[5A,124_{16} = 5 \cdot 16^1 + A \cdot 16^0 + 1 \cdot 16^{-1} + 2 \cdot 16^{-2} + 4 \cdot 16^{-3}\]Заменим A на 10:
\[5 \cdot 16^1 + 10 \cdot 16^0 + 1 \cdot 16^{-1} + 2 \cdot 16^{-2} + 4 \cdot 16^{-3}\]Вычислим значения степеней и произведений:
\[16^1 = 16\] \[16^0 = 1\] \[16^{-1} = \frac{1}{16} = 0,0625\] \[16^{-2} = \frac{1}{16^2} = \frac{1}{256} = 0,00390625\] \[16^{-3} = \frac{1}{16^3} = \frac{1}{4096} = 0,000244140625\]Подставим эти значения в выражение:
\[5 \cdot 16 + 10 \cdot 1 + 1 \cdot 0,0625 + 2 \cdot 0,00390625 + 4 \cdot 0,000244140625\] \[80 + 10 + 0,0625 + 0,0078125 + 0,0009765625\] \[90 + 0,0625 + 0,0078125 + 0,0009765625\] \[90,0712890625\]Таким образом, \(5A,124_{16} = 90,0712890625_{10}\).
Ответ: \(5A,124_{16} = 90,0712890625\).