Задача 11. Определить изменение энтропии в процессе сжижения 1 моль метана при постоянном давлении (P=1 атм), если начальная температура 25°C, а конечная –111,8 K (температура испарения метана при P=1 атм). Молярная теплота испарения метана при 111,8 K равна 8234 Дж/моль и молярная теплоемкость Cp=35,79 Дж/(моль·K). Вычислить также работу, полученную в процессе изобарного сжатия и сжижения метана в условиях задачи.
Дано:
- Количество вещества метана \(n = 1\) моль
- Давление \(P = 1\) атм (постоянное)
- Начальная температура \(T_1 = 25^\circ C\)
- Конечная температура \(T_2 = -111,8\) K
- Температура испарения метана \(T_{исп} = 111,8\) K
- Молярная теплота испарения метана \(\Delta H_{исп} = 8234\) Дж/моль
- Молярная теплоемкость метана \(C_p = 35,79\) Дж/(моль·K)
Найти:
- Изменение энтропии \(\Delta S\)
- Работу \(A\)
Решение:
Сначала переведем начальную температуру из градусов Цельсия в Кельвины:
\[T_1 = 25^\circ C + 273,15 = 298,15 \text{ K}\]Процесс сжижения метана при постоянном давлении можно разделить на два этапа:
- Охлаждение газообразного метана от \(T_1 = 298,15\) K до температуры конденсации \(T_{исп} = 111,8\) K.
- Конденсация (сжижение) метана при постоянной температуре \(T_{исп} = 111,8\) K.
1. Изменение энтропии при охлаждении газа (\(\Delta S_1\)):
Изменение энтропии при охлаждении газа при постоянном давлении рассчитывается по формуле:
\[\Delta S_1 = n \cdot C_p \cdot \ln\left(\frac{T_{исп}}{T_1}\right)\]Подставляем значения:
\[\Delta S_1 = 1 \text{ моль} \cdot 35,79 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{K}} \cdot \ln\left(\frac{111,8 \text{ K}}{298,15 \text{ K}}\right)\] \[\Delta S_1 = 35,79 \cdot \ln(0,375)\] \[\Delta S_1 = 35,79 \cdot (-0,980)\] \[\Delta S_1 \approx -35,07 \frac{\text{Дж}}{\text{K}}\]2. Изменение энтропии при конденсации (\(\Delta S_2\)):
При конденсации (фазовом переходе) изменение энтропии рассчитывается как отношение теплоты фазового перехода к температуре фазового перехода. Поскольку это процесс сжижения, теплота выделяется, поэтому изменение энтальпии конденсации будет отрицательным и равным по модулю теплоте испарения.
\[\Delta H_{конд} = -\Delta H_{исп} = -8234 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}}\]Изменение энтропии при конденсации:
\[\Delta S_2 = \frac{n \cdot \Delta H_{конд}}{T_{исп}}\] \[\Delta S_2 = \frac{1 \text{ моль} \cdot (-8234 \frac{\text{Дж}}{\text{моль}})}{111,8 \text{ K}}\] \[\Delta S_2 \approx -73,65 \frac{\text{Дж}}{\text{K}}\]3. Общее изменение энтропии (\(\Delta S\)):
Общее изменение энтропии равно сумме изменений энтропии на каждом этапе:
\[\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2\] \[\Delta S = -35,07 \frac{\text{Дж}}{\text{K}} + (-73,65 \frac{\text{Дж}}{\text{K}})\] \[\Delta S = -108,72 \frac{\text{Дж}}{\text{K}}\]4. Вычисление работы (\(A\)):
Работа в изобарном процессе (при постоянном давлении) рассчитывается по формуле:
\[A = -P \cdot \Delta V\]Для идеального газа изменение объема можно выразить через изменение температуры с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона \(PV = nRT\). Тогда \(\Delta V = \frac{nR}{P} \Delta T\).
Однако, в данном случае происходит не только охлаждение газа, но и его конденсация в жидкость. Объем жидкости значительно меньше объема газа, и изменение объема при конденсации будет существенным. Для точного расчета работы необходимо знать объемы газа и жидкости при соответствующих температурах. В условиях задачи эти данные не приведены. Если считать, что работа совершается только при изменении объема газа, то:
Работа при охлаждении газа от \(T_1\) до \(T_{исп}\):
\[A_1 = -P \cdot (V_{исп} - V_1)\]Используя уравнение Менделеева-Клапейрона \(PV = nRT\), получаем \(V = \frac{nRT}{P}\). Тогда:
\[A_1 = -P \cdot \left(\frac{nRT_{исп}}{P} - \frac{nRT_1}{P}\right)\] \[A_1 = -nR(T_{исп} - T_1)\]Универсальная газовая постоянная \(R = 8,314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{K}}\).
\[A_1 = -1 \text{ моль} \cdot 8,314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{K}} \cdot (111,8 \text{ K} - 298,15 \text{ K})\] \[A_1 = -8,314 \cdot (-186,35)\] \[A_1 \approx 1550,9 \text{ Дж}\]Работа при конденсации (сжижении) метана при \(T_{исп}\):
При конденсации объем газа резко уменьшается до объема жидкости. Работа совершается системой над внешними силами (или внешними силами над системой) из-за изменения объема. Если пренебречь объемом жидкости по сравнению с объемом газа, то изменение объема при конденсации \(\Delta V_{конд} \approx -V_{газ}\) при \(T_{исп}\).
\[V_{газ} = \frac{nRT_{исп}}{P}\]Давление \(P = 1\) атм \(= 101325\) Па.
\[V_{газ} = \frac{1 \text{ моль} \cdot 8,314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{K}} \cdot 111,8 \text{ K}}{101325 \text{ Па}}\] \[V_{газ} \approx 0,00917 \text{ м}^3\]Тогда работа при конденсации:
\[A_2 = -P \cdot \Delta V_{конд} \approx -P \cdot (-V_{газ}) = P \cdot V_{газ}\] \[A_2 \approx 101325 \text{ Па} \cdot 0,00917 \text{ м}^3\] \[A_2 \approx 929,1 \text{ Дж}\]Общая работа \(A = A_1 + A_2\):
\[A = 1550,9 \text{ Дж} + 929,1 \text{ Дж}\] \[A = 2480 \text{ Дж}\]Ответ:
Изменение энтропии в процессе сжижения метана составляет \(\Delta S = -108,72 \frac{\text{Дж}}{\text{K}}\).
Работа, полученная в процессе изобарного сжатия и сжижения метана, составляет \(A = 2480 \text{ Дж}\).