1. Вычислите:
а) \(0,8\sqrt{225} - 0,5\sqrt{1,21}\)
Решение:
Сначала найдем значения квадратных корней:
\(\sqrt{225} = 15\)
\(\sqrt{1,21} = 1,1\)
Теперь подставим эти значения в выражение:
\(0,8 \cdot 15 - 0,5 \cdot 1,1 = 12 - 0,55 = 11,45\)
Ответ: \(11,45\)
б) \(2 - 3\sqrt{\frac{25}{36}}\)
Решение:
Сначала найдем значение квадратного корня:
\(\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}\)
Теперь подставим это значение в выражение:
\(2 - 3 \cdot \frac{5}{6} = 2 - \frac{15}{6} = 2 - 2,5 = -0,5\)
Ответ: \(-0,5\)
в) \((0,5\sqrt{20})^2\)
Решение:
Используем свойство \((ab)^2 = a^2 b^2\):
\((0,5\sqrt{20})^2 = (0,5)^2 \cdot (\sqrt{20})^2 = 0,25 \cdot 20 = 5\)
Ответ: \(5\)
2. Найдите значение выражения:
а) \(\sqrt{9 \cdot 1,44}\)
Решение:
Используем свойство \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\):
\(\sqrt{9 \cdot 1,44} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{1,44} = 3 \cdot 1,2 = 3,6\)
Ответ: \(3,6\)
б) \(\sqrt{150} \cdot \sqrt{24}\)
Решение:
Используем свойство \(\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}\):
\(\sqrt{150} \cdot \sqrt{24} = \sqrt{150 \cdot 24} = \sqrt{3600}\)
Теперь найдем квадратный корень из \(3600\):
\(\sqrt{3600} = 60\)
Ответ: \(60\)
в) \(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}\)
Решение:
Используем свойство \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\):
\(\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25}\)
Теперь найдем квадратный корень из \(25\):
\(\sqrt{25} = 5\)
Ответ: \(5\)
г) \(\sqrt{6^2 \cdot 3^4}\)
Решение:
Используем свойство \(\sqrt{a^2} = |a|\) и \(\sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}}\) для четных \(n\):
\(\sqrt{6^2 \cdot 3^4} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{3^4} = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54\)
Ответ: \(54\)
3. Решите уравнение:
а) \(x^2 = 0,81\)
Решение:
Чтобы найти \(x\), нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Помним, что квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное.
\(x = \pm\sqrt{0,81}\)
\(x = \pm 0,9\)
Ответ: \(x_1 = 0,9\), \(x_2 = -0,9\)
б) \(x^2 = 46\)
Решение:
Аналогично предыдущему пункту:
\(x = \pm\sqrt{46}\)
Ответ: \(x_1 = \sqrt{46}\), \(x_2 = -\sqrt{46}\)
4. Упростите выражение:
а) \(-\frac{1}{3}b^3\sqrt{9b^2}\), где \(b \le 0\)
Решение:
Сначала упростим \(\sqrt{9b^2}\):
\(\sqrt{9b^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{b^2} = 3 \cdot |b|\)
Поскольку дано, что \(b \le 0\), то \(|b| = -b\).
Значит, \(\sqrt{9b^2} = 3 \cdot (-b) = -3b\).
Теперь подставим это в исходное выражение:
\(-\frac{1}{3}b^3 \cdot (-3b) = \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot (-3) \cdot b^3 \cdot b = 1 \cdot b^{3+1} = b^4\)
Ответ: \(b^4\)
б) \(2x^2\sqrt{\frac{49}{x^2}}\), где \(x > 0\)
Решение:
Сначала упростим \(\sqrt{\frac{49}{x^2}}\):
\(\sqrt{\frac{49}{x^2}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{x^2}} = \frac{7}{|x|}\)
Поскольку дано, что \(x > 0\), то \(|x| = x\).
Значит, \(\sqrt{\frac{49}{x^2}} = \frac{7}{x}\).
Теперь подставим это в исходное выражение:
\(2x^2 \cdot \frac{7}{x} = 2 \cdot 7 \cdot \frac{x^2}{x} = 14x\)
Ответ: \(14x\)
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число \(\sqrt{28}\).
Решение:
Найдем ближайшие целые числа, квадраты которых находятся рядом с \(28\):
\(5^2 = 25\)
\(6^2 = 36\)
Значит, \(5 < \sqrt{28} < 6\).
Теперь попробуем десятичные дроби с одним знаком после запятой:
\(5,1^2 = 26,01\)
\(5,2^2 = 27,04\)
\(5,3^2 = 28,09\)
Мы видим, что \(5,2^2 < 28 < 5,3^2\).
Следовательно, \(5,2 < \sqrt{28} < 5,3\).
Ответ: \(5,2\) и \(5,3\)
6. При каких значениях переменной \(x\) имеет смысл выражение \(\frac{10}{\sqrt{x}-2}\)?
Решение:
Для того чтобы выражение имело смысл, должны выполняться два условия:
1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \(x \ge 0\).
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: \(\sqrt{x} - 2 \ne 0\).
Рассмотрим второе условие:
\(\sqrt{x} - 2 \ne 0\)
\(\sqrt{x} \ne 2\)
Возведем обе части в квадрат:
\((\sqrt{x})^2 \ne 2^2\)
\(x \ne 4\)
Объединяем оба условия: \(x \ge 0\) и \(x \ne 4\).
Ответ: Выражение имеет смысл при \(x \ge 0\) и \(x \ne 4\).