КР №1
1. Написать название углов
1. Прямой угол (угол равен \(90^\circ\)). 2. Острый угол (угол меньше \(90^\circ\)). 3. Тупой угол (угол больше \(90^\circ\), но меньше \(180^\circ\)). 4. Вертикальные углы (углы, образованные при пересечении двух прямых, они равны). 5. Развернутый угол (угол равен \(180^\circ\)).
2. Найти угол \(x\) в треугольнике
В треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\). Угол \(A\) и угол \(B\) - это углы при основании равнобедренного треугольника, если \(AB\) - основание. Если это не равнобедренный треугольник, то нам не хватает данных. Предположим, что треугольник \(ABC\) - равнобедренный с основанием \(AC\), тогда угол \(A\) равен углу \(C\). На рисунке видно, что угол при вершине \(B\) обозначен как \(B\). Угол при вершине \(A\) обозначен как \(A\). Угол при вершине \(C\) обозначен как \(C\). Угол \(x\) является внешним углом для треугольника \(ABC\) при вершине \(C\). Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Значит, \(x = \angle A + \angle B\). Если же \(x\) - это угол, смежный с углом \(C\), то \(x + \angle C = 180^\circ\). На рисунке угол \(x\) обозначен как внешний угол при вершине \(C\). Поэтому: \[x = \angle A + \angle B\] Без числовых значений углов \(A\) и \(B\) мы не можем найти числовое значение \(x\).
3. Найти угол \(x\) в окружности (центральный угол)
На рисунке изображена окружность с центром \(O\). Угол \(AOB\) является центральным углом. Угол \(AOB\) равен \(80^\circ\). Угол \(x\) - это угол, смежный с углом \(AOB\). Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). Значит: \[x + \angle AOB = 180^\circ\] \[x + 80^\circ = 180^\circ\] \[x = 180^\circ - 80^\circ\] \[x = 100^\circ\]
4. Найти угол \(x\) в окружности (вписанный угол)
На рисунке изображена окружность. Угол \(ABC\) является вписанным углом, опирающимся на дугу \(AC\). Угол \(AOC\) является центральным углом, опирающимся на ту же дугу \(AC\). Известно, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. На рисунке центральный угол \(AOC\) равен \(x\). Вписанный угол \(ABC\) равен \(30^\circ\). Значит: \[\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC\] \[30^\circ = \frac{1}{2} x\] Чтобы найти \(x\), умножим обе части уравнения на 2: \[x = 30^\circ \cdot 2\] \[x = 60^\circ\]
5. Назвать пары углов при параллельных прямых и секущей
На рисунке две параллельные прямые пересечены секущей. Образовались 8 углов. Давайте назовем пары углов:
* Углы 3 и 6: **Внутренние накрест лежащие углы**. Они равны, если прямые параллельны. * Углы 4 и 5: **Внутренние накрест лежащие углы**. Они равны, если прямые параллельны. * Углы 3 и 5: **Внутренние односторонние углы**. Их сумма равна \(180^\circ\), если прямые параллельны. * Углы 4 и 6: **Внутренние односторонние углы**. Их сумма равна \(180^\circ\), если прямые параллельны. * Углы 1 и 5: **Соответственные углы**. Они равны, если прямые параллельны. * Углы 2 и 6: **Соответственные углы**. Они равны, если прямые параллельны. * Углы 1 и 8: **Внешние накрест лежащие углы**. Они равны, если прямые параллельны. * Углы 2 и 7: **Внешние накрест лежащие углы**. Они равны, если прямые параллельны. * Углы 1 и 7: **Внешние односторонние углы**. Их сумма равна \(180^\circ\), если прямые параллельны. * Углы 2 и 8: **Внешние односторонние углы**. Их сумма равна \(180^\circ\), если прямые параллельны.
6. Дано: \(\angle 2 = 60^\circ\). Найти все остальные углы.
Предполагаем, что прямые параллельны. Дано: \(\angle 2 = 60^\circ\).
1. Углы 1 и 2 - смежные. Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). \[\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ\] \[\angle 1 + 60^\circ = 180^\circ\] \[\angle 1 = 180^\circ - 60^\circ\] \[\angle 1 = 120^\circ\]
2. Углы 2 и 3 - смежные. \[\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ\] \[60^\circ + \angle 3 = 180^\circ\] \[\angle 3 = 180^\circ - 60^\circ\] \[\angle 3 = 120^\circ\] (Также \(\angle 1\) и \(\angle 3\) - вертикальные, поэтому \(\angle 3 = \angle 1 = 120^\circ\)).
3. Углы 2 и 4 - вертикальные. Вертикальные углы равны. \[\angle 4 = \angle 2\] \[\angle 4 = 60^\circ\]
Теперь найдем углы, образованные второй параллельной прямой и секущей:
4. Углы 2 и 6 - соответственные. Соответственные углы равны. \[\angle 6 = \angle 2\] \[\angle 6 = 60^\circ\]
5. Углы 6 и 5 - смежные. \[\angle 6 + \angle 5 = 180^\circ\] \[60^\circ + \angle 5 = 180^\circ\] \[\angle 5 = 180^\circ - 60^\circ\] \[\angle 5 = 120^\circ\] (Также \(\angle 5\) и \(\angle 3\) - внутренние односторонние, их сумма \(180^\circ\). \(\angle 5 = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Здесь ошибка в рассуждении. \(\angle 5\) и \(\angle 3\) - внутренние односторонние, их сумма \(180^\circ\). \(\angle 3 = 120^\circ\), значит \(\angle 5 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Это противоречит тому, что \(\angle 5 = 120^\circ\). Давайте перепроверим.)
Перепроверим: \(\angle 2 = 60^\circ\). \(\angle 1 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\) (смежный с \(\angle 2\)). \(\angle 3 = \angle 1 = 120^\circ\) (вертикальный с \(\angle 1\)). \(\angle 4 = \angle 2 = 60^\circ\) (вертикальный с \(\angle 2\)).
Теперь для второй прямой: \(\angle 6 = \angle 2 = 60^\circ\) (соответственный с \(\angle 2\)). \(\angle 5 = \angle 1 = 120^\circ\) (соответственный с \(\angle 1\)). \(\angle 7 = \angle 3 = 120^\circ\) (соответственный с \(\angle 3\)). \(\angle 8 = \angle 4 = 60^\circ\) (соответственный с \(\angle 4\)).
Проверим внутренние односторонние: \(\angle 3 + \angle 5 = 120^\circ + 120^\circ = 240^\circ\). Это не \(180^\circ\). Значит, я неправильно определил углы 3, 4, 5, 6, 7, 8 на рисунке.
Давайте еще раз внимательно посмотрим на нумерацию углов на рисунке: Верхняя точка пересечения: Левый верхний: 1 Правый верхний: 2 Левый нижний: 3 Правый нижний: 4 Нижняя точка пересечения: Левый верхний: 5 Правый верхний: 6 Левый нижний: 7 Правый нижний: 8
Итак, дано \(\angle 2 = 60^\circ\).
1. \(\angle 1\) и \(\angle 2\) - смежные. \[\angle 1 = 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\]
2. \(\angle 3\) и \(\angle 2\) - смежные. \[\angle 3 = 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\] (Также \(\angle 3\) и \(\angle 1\) - вертикальные, \(\angle 3 = 120^\circ\)).
3. \(\angle 4\) и \(\angle 2\) - вертикальные. \[\angle 4 = \angle 2 = 60^\circ\]
Теперь для углов при нижней прямой:
4. \(\angle 6\) и \(\angle 2\) - соответственные углы. \[\angle 6 = \angle 2 = 60^\circ\]
5. \(\angle 5\) и \(\angle 1\) - соответственные углы. \[\angle 5 = \angle 1 = 120^\circ\]
6. \(\angle 7\) и \(\angle 3\) - соответственные углы. \[\angle 7 = \angle 3 = 120^\circ\]
7. \(\angle 8\) и \(\angle 4\) - соответственные углы. \[\angle 8 = \angle 4 = 60^\circ\]
Проверим внутренние односторонние углы: \(\angle 3\) и \(\angle 6\) - внутренние односторонние. \[\angle 3 + \angle 6 = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\] Это верно.
\(\angle 4\) и \(\angle 5\) - внутренние односторонние. \[\angle 4 + \angle 5 = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ\] Это тоже верно.
Итак, все углы найдены правильно.
Ответы: \[\angle 1 = 120^\circ\] \[\angle 2 = 60^\circ\] (дано) \[\angle 3 = 120^\circ\] \[\angle 4 = 60^\circ\] \[\angle 5 = 120^\circ\] \[\angle 6 = 60^\circ\] \[\angle 7 = 120^\circ\] \[\angle 8 = 60^\circ\]