Решение задачи: Область определения функции с логарифмом и корнем

Решим задачу по определению области определения функции. Задача: Сколько натуральных значений \(x\) содержит область определения функции \[y = \frac{\ln(x^2-9)}{x-4} + \frac{\sqrt{9-x}}{x^2-64}\] Для того чтобы функция была определена, должны выполняться следующие условия: 1. Выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля: \[x^2 - 9 > 0\] Разложим на множители: \[(x-3)(x+3) > 0\] Это неравенство выполняется при \(x < -3\) или \(x > 3\). 2. Знаменатель первой дроби не должен быть равен нулю: \[x - 4 \neq 0\] \[x \neq 4\] 3. Выражение под квадратным корнем должно быть больше или равно нулю: \[9 - x \ge 0\] \[9 \ge x\] \[x \le 9\] 4. Знаменатель второй дроби не должен быть равен нулю: \[x^2 - 64 \neq 0\] Разложим на множители: \[(x-8)(x+8) \neq 0\] \[x \neq 8\] \[x \neq -8\] Теперь объединим все условия: * \(x < -3\) или \(x > 3\) * \(x \neq 4\) * \(x \le 9\) * \(x \neq 8\) * \(x \neq -8\) Нас интересуют натуральные значения \(x\). Натуральные числа — это положительные целые числа: \(1, 2, 3, \dots\). Рассмотрим натуральные числа, удовлетворяющие условиям: 1. Из условия \(x < -3\) или \(x > 3\), для натуральных чисел подходит \(x > 3\). 2. Из условия \(x \le 9\), для натуральных чисел подходит \(x \in \{1, 2, \dots, 9\}\). Объединяем эти два условия для натуральных чисел: \(x > 3\) и \(x \le 9\). Это означает, что \(x\) может принимать значения \(4, 5, 6, 7, 8, 9\). Теперь учтем исключения: * \(x \neq 4\). Исключаем \(4\). * \(x \neq 8\). Исключаем \(8\). * \(x \neq -8\). Это условие не влияет на натуральные числа, так как \(-8\) не является натуральным числом. После исключения \(4\) и \(8\), остаются следующие натуральные значения \(x\): \(5, 6, 7, 9\). Подсчитаем количество этих значений: \(5, 6, 7, 9\). Их 4. Таким образом, область определения функции содержит 4 натуральных значения \(x\). Ответ: 4