Решение задачи на монотонность функции

Выясним, какие из функций являются монотонными на всей числовой прямой \((-\infty; \infty)\). Функция называется монотонной на интервале, если она на этом интервале либо только возрастает, либо только убывает. Строго монотонная функция либо строго возрастает, либо строго убывает. Рассмотрим каждую из предложенных функций: 1. \[y = x^3\] Найдем производную этой функции: \[y' = (x^3)' = 3x^2\] Для всех \(x \neq 0\), \(3x^2 > 0\). При \(x=0\), \(y'=0\). Поскольку производная \(y' \ge 0\) для всех \(x \in (-\infty; \infty)\) и равна нулю только в одной точке, функция \(y = x^3\) является строго возрастающей на всей числовой прямой. Следовательно, \(y = x^3\) является монотонной функцией. 2. \[y = \begin{cases} x, & \text{при } x < 0 \\ 2x, & \text{при } x \ge 0 \end{cases}\] Рассмотрим поведение функции на двух интервалах: * При \(x < 0\), \(y = x\). Эта часть функции является строго возрастающей. * При \(x \ge 0\), \(y = 2x\). Эта часть функции также является строго возрастающей. Теперь проверим поведение в точке "стыка" \(x=0\). При \(x \to 0^-\), \(y \to 0\). При \(x = 0\), \(y = 2 \cdot 0 = 0\). Функция непрерывна в точке \(x=0\). Если мы возьмем любое \(x_1 < x_2\), то \(f(x_1) < f(x_2)\). Например, если \(x_1 = -1\), \(y_1 = -1\). Если \(x_2 = 1\), \(y_2 = 2\). \(y_1 < y_2\). Если \(x_1 = -2\), \(y_1 = -2\). Если \(x_2 = -1\), \(y_2 = -1\). \(y_1 < y_2\). Если \(x_1 = 1\), \(y_1 = 2\). Если \(x_2 = 2\), \(y_2 = 4\). \(y_1 < y_2\). Функция возрастает на всей числовой прямой. Следовательно, эта функция является монотонной. 3. \[y = \sqrt[3]{x}\] Найдем производную этой функции: \[y = x^{1/3}\] \[y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\] Для всех \(x \neq 0\), \(x^2 > 0\), а значит \(\sqrt[3]{x^2} > 0\). Следовательно, \(y' > 0\) для всех \(x \neq 0\). При \(x=0\), производная не определена, но функция \(y = \sqrt[3]{x}\) непрерывна в этой точке. Поскольку производная положительна везде, где она определена, и функция непрерывна, \(y = \sqrt[3]{x}\) является строго возрастающей на всей числовой прямой. Следовательно, \(y = \sqrt[3]{x}\) является монотонной функцией. 4. \[y = x^2\] Найдем производную этой функции: \[y' = (x^2)' = 2x\] * При \(x < 0\), \(y' < 0\), то есть функция убывает. * При \(x > 0\), \(y' > 0\), то есть функция возрастает. * При \(x = 0\), функция имеет минимум. Поскольку функция убывает на интервале \((-\infty; 0)\) и возрастает на интервале \((0; \infty)\), она не является монотонной на всей числовой прямой \((-\infty; \infty)\). Следовательно, \(y = x^2\) не является монотонной функцией. Итак, монотонными функциями на всей числовой прямой являются: * \(y = x^3\) * \[y = \begin{cases} x, & \text{при } x < 0 \\ 2x, & \text{при } x \ge 0 \end{cases}\] * \(y = \sqrt[3]{x}\) Ответ: * \(y = x^3\) * \[y = \begin{cases} x, & \text{при } x < 0 \\ 2x, & \text{при } x \ge 0 \end{cases}\] * \(y = \sqrt[3]{x}\)