1. Дано: \(\angle A = \angle B\), \(CO = 4\), \(DO = 6\), \(AO = 5\) (рис. 7.54).
Найти: а) \(OB\); б) \(AC : BD\); в) \(S_{AOC} : S_{BOD}\).
Решение:
а) Рассмотрим треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\).
У нас дано, что \(\angle A = \angle B\).
Углы \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) являются вертикальными, поэтому \(\angle AOC = \angle BOD\).
Из этих двух условий следует, что треугольники \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\) подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
\[\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{AC}{BD}\]
Подставим известные значения:
\[\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}\]
Чтобы найти \(BO\), решим это уравнение:
\[5 \cdot 6 = BO \cdot 4\]
\[30 = 4 \cdot BO\]
\[BO = \frac{30}{4}\]
\[BO = 7.5\]
Ответ: а) \(OB = 7.5\).
б) Найдем отношение \(AC : BD\).
Из пропорциональности сторон имеем:
\[\frac{AC}{BD} = \frac{CO}{DO}\]
Подставим известные значения:
\[\frac{AC}{BD} = \frac{4}{6}\]
Сократим дробь:
\[\frac{AC}{BD} = \frac{2}{3}\]
Ответ: б) \(AC : BD = 2 : 3\).
в) Найдем отношение площадей \(S_{AOC} : S_{BOD}\).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Коэффициент подобия \(k\) можно найти как отношение любых соответствующих сторон. Например, \(k = \frac{CO}{DO}\) или \(k = \frac{AO}{BO}\).
\[k = \frac{CO}{DO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Тогда отношение площадей:
\[\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]
Ответ: в) \(S_{AOC} : S_{BOD} = 4 : 9\).
2. В треугольнике \(ABC\) \(AB = 4\) см, \(BC = 7\) см, \(AC = 6\) см. В треугольнике \(MNK\) \(MK = 8\) см, \(MN = 12\) см, \(KN = 14\) см. Найдите углы треугольника \(MNK\), если \(\angle A = 80^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\).
Решение:
Сначала проверим, подобны ли треугольники \(ABC\) и \(MNK\).
Для этого сравним отношения длин сторон:
\[\frac{AB}{MK} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\]
\[\frac{AC}{MN} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]
\[\frac{BC}{KN} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}\]
Так как отношения всех соответствующих сторон равны, то треугольники \(ABC\) и \(MNK\) подобны по трем сторонам (третий признак подобия треугольников).
Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов:
Угол, лежащий напротив стороны \(AB\) в \(\triangle ABC\), это \(\angle C\). Угол, лежащий напротив стороны \(MK\) в \(\triangle MNK\), это \(\angle N\). Значит, \(\angle C = \angle N\).
Угол, лежащий напротив стороны \(BC\) в \(\triangle ABC\), это \(\angle A\). Угол, лежащий напротив стороны \(KN\) в \(\triangle MNK\), это \(\angle M\). Значит, \(\angle A = \angle M\).
Угол, лежащий напротив стороны \(AC\) в \(\triangle ABC\), это \(\angle B\). Угол, лежащий напротив стороны \(MN\) в \(\triangle MNK\), это \(\angle K\). Значит, \(\angle B = \angle K\).
Нам даны углы \(\triangle ABC\): \(\angle A = 80^\circ\), \(\angle B = 60^\circ\).
Тогда углы \(\triangle MNK\) будут:
\[\angle M = \angle A = 80^\circ\]
\[\angle K = \angle B = 60^\circ\]
Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Найдем \(\angle C\) в \(\triangle ABC\):
\[\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 80^\circ - 60^\circ = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\]
Тогда \(\angle N\) в \(\triangle MNK\) будет:
\[\angle N = \angle C = 40^\circ\]
Ответ: Углы треугольника \(MNK\) равны: \(\angle M = 80^\circ\), \(\angle K = 60^\circ\), \(\angle N = 40^\circ\).
3. Прямая пересекает стороны треугольника \(ABC\) в точках \(M\) и \(K\) соответственно так, что \(MK \parallel AC\), \(BM : AM = 1 : 4\). Найдите периметр треугольника \(BMK\), если периметр треугольника \(ABC\) равен 25 см.
Решение:
Дано: \(MK \parallel AC\), \(BM : AM = 1 : 4\), \(P_{ABC} = 25\) см.
Найти: \(P_{BMK}\).
Так как \(MK \parallel AC\), то по теореме о параллельной прямой, пересекающей две стороны треугольника, треугольник \(BMK\) подобен треугольнику \(BAC\).
Из подобия треугольников следует, что отношение соответствующих сторон равно коэффициенту подобия \(k\).
Нам дано отношение \(BM : AM = 1 : 4\).
Сторона \(AB\) состоит из отрезков \(AM\) и \(BM\): \(AB = AM + BM\).
Пусть \(BM = x\), тогда \(AM = 4x\).
Тогда \(AB = x + 4x = 5x\).
Коэффициент подобия \(k\) треугольника \(BMK\) к треугольнику \(BAC\) равен отношению стороны \(BM\) к стороне \(BA\):
\[k = \frac{BM}{BA} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5}\]
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
\[\frac{P_{BMK}}{P_{ABC}} = k\]
Подставим известные значения:
\[\frac{P_{BMK}}{25} = \frac{1}{5}\]
Чтобы найти \(P_{BMK}\), решим это уравнение:
\[P_{BMK} = 25 \cdot \frac{1}{5}\]
\[P_{BMK} = 5\]
Ответ: Периметр треугольника \(BMK\) равен 5 см.
4. В трапеции \(ABCD\) (\(AD\) и \(BC\) основание) диагонали пересекаются в точке \(O\), \(AD = 12\) см, \(BC = 4\) см. Найдите площадь треугольника \(BOC\), если площадь треугольника \(AOD\) равна 45 см\(^2\).
Решение:
Дано: Трапеция \(ABCD\), \(AD \parallel BC\), \(AD = 12\) см, \(BC = 4\) см, \(S_{AOD} = 45\) см\(^2\).
Найти: \(S_{BOC}\).
Рассмотрим треугольники \(\triangle AOD\) и \(\triangle BOC\).
Так как \(AD \parallel BC\), то:
Углы \(\angle DAO\) и \(\angle BCO\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AC\), поэтому \(\angle DAO = \angle BCO\).
Углы \(\angle ADO\) и \(\angle CBO\) являются накрест лежащими при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(BD\), поэтому \(\angle ADO = \angle CBO\).
Углы \(\angle AOD\) и \(\angle BOC\) являются вертикальными, поэтому \(\angle AOD = \angle BOC\).
Из этих условий следует, что треугольники \(\triangle AOD\) и \(\triangle BOC\) подобны по двум углам (или по трем углам).
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Коэффициент подобия \(k\) можно найти как отношение соответствующих сторон. В данном случае, это отношение оснований трапеции:
\[k = \frac{BC}{AD}\]
Подставим известные значения:
\[k = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]
Тогда отношение площадей:
\[\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2\]
\[\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\]
Теперь подставим известную площадь \(S_{AOD} = 45\) см\(^2\):
\[\frac{S_{BOC}}{45} = \frac{1}{9}\]
Чтобы найти \(S_{BOC}\), решим это уравнение:
\[S_{BOC} = 45 \cdot \frac{1}{9}\]
\[S_{BOC} = 5\]
Ответ: Площадь треугольника \(BOC\) равна 5 см\(^2\).