Решение задач из Варианта 2

Вот решения задач из Варианта 2. Вариант 2 1. Найдите значение выражения \( \frac{2}{3} - \frac{1}{12} \). Решение: Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 12 равен 12. \[ \frac{2}{3} - \frac{1}{12} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{12} = \frac{8}{12} - \frac{1}{12} = \frac{8 - 1}{12} = \frac{7}{12} \] Ответ: \( \frac{7}{12} \) 2. Одно из чисел \( \frac{106}{17}, \frac{108}{17}, \frac{120}{17}, \frac{144}{17} \) отмечено на прямой точкой. Какое это число? Решение: На числовой прямой отмечена точка, которая находится между 6 и 7. Переведем данные неправильные дроби в смешанные числа: 1) \( \frac{106}{17} = 6 \frac{4}{17} \) 2) \( \frac{108}{17} = 6 \frac{6}{17} \) 3) \( \frac{120}{17} = 7 \frac{1}{17} \) 4) \( \frac{144}{17} = 8 \frac{8}{17} \) Точка на прямой находится между 6 и 7, но ближе к 6. Сравним \( 6 \frac{4}{17} \) и \( 6 \frac{6}{17} \). \( 6 \frac{4}{17} \) ближе к 6, чем \( 6 \frac{6}{17} \). По рисунку видно, что точка находится примерно на расстоянии \( \frac{4}{17} \) от 6. Ответ: \( \frac{106}{17} \) 3. Вычислите: \( \frac{(7^{-15})^6}{7^{24} \cdot 7^{-57}} \). Решение: Используем свойства степеней: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \). \[ \frac{(7^{-15})^6}{7^{24} \cdot 7^{-57}} = \frac{7^{-15 \cdot 6}}{7^{24 + (-57)}} = \frac{7^{-90}}{7^{24 - 57}} = \frac{7^{-90}}{7^{-33}} \] \[ = 7^{-90 - (-33)} = 7^{-90 + 33} = 7^{-57} \] Ответ: \( 7^{-57} \) 4. Найдите корень уравнения \( -18 + 25x = 15x + 26 \). Решение: Перенесем все члены с \( x \) в одну сторону, а свободные члены в другую. \[ 25x - 15x = 26 + 18 \] \[ 10x = 44 \] \[ x = \frac{44}{10} \] \[ x = 4.4 \] Ответ: 4.4 5. В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 19 черных, 13 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет зеленое такси. Решение: Общее количество машин: 40. Количество зеленых машин: 8. Вероятность того, что приедет зеленое такси, равна отношению количества зеленых машин к общему количеству машин. \[ P(\text{зеленое такси}) = \frac{\text{Количество зеленых машин}}{\text{Общее количество машин}} = \frac{8}{40} \] Упростим дробь: \[ \frac{8}{40} = \frac{1}{5} = 0.2 \] Ответ: 0.2 6. На рисунках изображены графики функций вида \( y = ax^2 + bx + c \). Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов \( a \) и \( c \). Решение: Коэффициент \( a \) определяет направление ветвей параболы: - Если \( a > 0 \), ветви направлены вверх. - Если \( a < 0 \), ветви направлены вниз. Коэффициент \( c \) определяет точку пересечения параболы с осью \( y \). Если \( x = 0 \), то \( y = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c \). - Если \( c > 0 \), парабола пересекает ось \( y \) выше оси \( x \). - Если \( c < 0 \), парабола пересекает ось \( y \) ниже оси \( x \). - Если \( c = 0 \), парабола проходит через начало координат. Рассмотрим графики: График А: Ветви направлены вверх, значит \( a > 0 \). Пересекает ось \( y \) выше оси \( x \), значит \( c > 0 \). Соответствует условию 1) \( a > 0; c > 0 \). График Б: Ветви направлены вниз, значит \( a < 0 \). Пересекает ось \( y \) выше оси \( x \), значит \( c > 0 \). Соответствует условию 2) \( a < 0; c > 0 \). График В: Ветви направлены вниз, значит \( a < 0 \). Пересекает ось \( y \) ниже оси \( x \), значит \( c < 0 \). Соответствует условию 3) \( a < 0; c < 0 \). В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер. Ответ: А | Б | В --|---|-- 1 | 2 | 3 7. Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула \( t_C = \frac{5}{9}(t_F - 32) \), где \( t_C \) — температура в градусах по шкале Цельсия, \( t_F \) — температура в градусах по шкале Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует \( -13^\circ \) по шкале Фаренгейта? Решение: Дана формула: \( t_C = \frac{5}{9}(t_F - 32) \). Известно, что \( t_F = -13^\circ \). Подставим это значение в формулу: \[ t_C = \frac{5}{9}(-13 - 32) \] \[ t_C = \frac{5}{9}(-45) \] \[ t_C = 5 \cdot \frac{-45}{9} \] \[ t_C = 5 \cdot (-5) \] \[ t_C = -25 \] Ответ: \( -25 \) 8. Укажите решение системы неравенств \[ \begin{cases} -18 - 6x \le 0, \\ 12 - 2x \le -42. \end{cases} \] Решение: Решим каждое неравенство по отдельности. Первое неравенство: \[ -18 - 6x \le 0 \] \[ -6x \le 18 \] Разделим обе части на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. \[ x \ge \frac{18}{-6} \] \[ x \ge -3 \] Второе неравенство: \[ 12 - 2x \le -42 \] \[ -2x \le -42 - 12 \] \[ -2x \le -54 \] Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. \[ x \ge \frac{-54}{-2} \] \[ x \ge 27 \] Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: \( x \ge -3 \) и \( x \ge 27 \). Чтобы оба условия выполнялись, \( x \) должно быть больше или равно 27. То есть, \( x \in [27; +\infty) \). Среди предложенных вариантов: 1) \( x \in [-3; 27] \) 2) \( x \in (-\infty; -3] \) 3) \( x \in [-3; +\infty) \) 4) \( x \in [27; +\infty) \) Правильный вариант 4. Ответ: 4 9. В амфитеатре 25 рядов, причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В восьмом ряду 38 мест, а в тринадцатом ряду 53 места. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра? Решение: Эта задача описывает арифметическую прогрессию, где \( a_n \) - количество мест в \( n \)-м ряду, а \( d \) - разность прогрессии (на сколько мест больше в каждом следующем ряду). Формула \( n \)-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \). Нам дано: \( a_8 = 38 \) \( a_{13} = 53 \) Запишем эти условия с помощью формулы: 1) \( a_1 + (8-1)d = 38 \Rightarrow a_1 + 7d = 38 \) 2) \( a_1 + (13-1)d = 53 \Rightarrow a_1 + 12d = 53 \) Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти \( d \): \( (a_1 + 12d) - (a_1 + 7d) = 53 - 38 \) \( 5d = 15 \) \( d = \frac{15}{5} \) \( d = 3 \) Теперь найдем \( a_1 \) (количество мест в первом ряду), подставив \( d=3 \) в первое уравнение: \( a_1 + 7 \cdot 3 = 38 \) \( a_1 + 21 = 38 \) \( a_1 = 38 - 21 \) \( a_1 = 17 \) Нам нужно найти количество мест в последнем ряду, то есть в 25-м ряду (\( a_{25} \)). \[ a_{25} = a_1 + (25-1)d \] \[ a_{25} = 17 + 24 \cdot 3 \] \[ a_{25} = 17 + 72 \] \[ a_{25} = 89 \] Ответ: 89