Решение задачи: Момент силы для куба

Решение задачи: Дано: Куб с ребром \(a = 9\) м. Действуют две силы: \(F_1 = 9,6\) Н и \(F_2 = 2,9\) Н. Центр приведения - точка \(O\). Определить: Модуль главного момента относительно точки \(O\). Ход решения: 1. Определим координаты точек приложения сил и их направления. Из рисунка видно, что точка \(O\) находится в центре куба. Сила \(F_1\) приложена к вершине куба, лежащей на оси \(x\), и направлена вдоль оси \(x\) в положительном направлении. Сила \(F_2\) приложена к вершине куба, лежащей в плоскости \(yz\), и направлена вдоль диагонали грани, параллельной плоскости \(yz\). Для удобства расчетов, поместим начало координат в центр куба \(O\). Тогда координаты вершин куба будут: \(x = \pm \frac{a}{2}\), \(y = \pm \frac{a}{2}\), \(z = \pm \frac{a}{2}\). Рассмотрим силы: Сила \(F_1\): Точка приложения силы \(A_1\) имеет координаты \((\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2})\). Вектор силы \( \vec{F_1} \) направлен вдоль оси \(x\). \( \vec{F_1} = (F_1, 0, 0) = (9,6, 0, 0) \) Н. Радиус-вектор от точки \(O\) до точки приложения силы \(A_1\): \( \vec{r_1} = \vec{OA_1} = (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}) = (\frac{9}{2}, -\frac{9}{2}, -\frac{9}{2}) = (4,5, -4,5, -4,5) \) м. Сила \(F_2\): Точка приложения силы \(A_2\) имеет координаты \((-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2})\). Вектор силы \( \vec{F_2} \) направлен вдоль диагонали грани, параллельной плоскости \(yz\). Из рисунка видно, что он направлен от точки \((-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2})\) к точке \((-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, \frac{a}{2})\). Вектор направления силы \( \vec{u_2} = (0, -\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - (-\frac{a}{2})) = (0, -a, a) \). Модуль вектора направления \( |\vec{u_2}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \). Единичный вектор направления \( \vec{e_2} = \frac{\vec{u_2}}{|\vec{u_2}|} = \frac{(0, -a, a)}{a\sqrt{2}} = (0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) \). Вектор силы \( \vec{F_2} = F_2 \cdot \vec{e_2} = 2,9 \cdot (0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = (0, -\frac{2,9}{\sqrt{2}}, \frac{2,9}{\sqrt{2}}) \) Н. \( \frac{2,9}{\sqrt{2}} \approx \frac{2,9}{1,41421356} \approx 2,050609 \) Н. Таким образом, \( \vec{F_2} = (0, -2,050609, 2,050609) \) Н. Радиус-вектор от точки \(O\) до точки приложения силы \(A_2\): \( \vec{r_2} = \vec{OA_2} = (-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, -\frac{a}{2}) = (-\frac{9}{2}, \frac{9}{2}, -\frac{9}{2}) = (-4,5, 4,5, -4,5) \) м. 2. Вычислим моменты сил относительно точки \(O\). Момент силы \( \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \). Момент силы \(F_1\): \( \vec{M_1} = \vec{r_1} \times \vec{F_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4,5 & -4,5 & -4,5 \\ 9,6 & 0 & 0 \end{vmatrix} \) \( \vec{M_1} = \vec{i} ((-4,5) \cdot 0 - (-4,5) \cdot 0) - \vec{j} (4,5 \cdot 0 - (-4,5) \cdot 9,6) + \vec{k} (4,5 \cdot 0 - (-4,5) \cdot 9,6) \) \( \vec{M_1} = \vec{i} (0) - \vec{j} (0 - (-43,2)) + \vec{k} (0 - (-43,2)) \) \( \vec{M_1} = (0, -43,2, 43,2) \) Нм. Момент силы \(F_2\): \( \vec{M_2} = \vec{r_2} \times \vec{F_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4,5 & 4,5 & -4,5 \\ 0 & -2,050609 & 2,050609 \end{vmatrix} \) \( \vec{M_2} = \vec{i} (4,5 \cdot 2,050609 - (-4,5) \cdot (-2,050609)) - \vec{j} ((-4,5) \cdot 2,050609 - (-4,5) \cdot 0) + \vec{k} ((-4,5) \cdot (-2,050609) - 4,5 \cdot 0) \) \( \vec{M_2} = \vec{i} (9,2277405 - 9,2277405) - \vec{j} (-9,2277405 - 0) + \vec{k} (9,2277405 - 0) \) \( \vec{M_2} = (0, 9,2277405, 9,2277405) \) Нм. 3. Вычислим главный момент относительно точки \(O\). Главный момент \( \vec{M_O} = \vec{M_1} + \vec{M_2} \). \( \vec{M_O} = (0, -43,2, 43,2) + (0, 9,2277405, 9,2277405) \) \( \vec{M_O} = (0 + 0, -43,2 + 9,2277405, 43,2 + 9,2277405) \) \( \vec{M_O} = (0, -33,9722595, 52,4277405) \) Нм. 4. Вычислим модуль главного момента. \( |\vec{M_O}| = \sqrt{M_{Ox}^2 + M_{Oy}^2 + M_{Oz}^2} \) \( |\vec{M_O}| = \sqrt{0^2 + (-33,9722595)^2 + (52,4277405)^2} \) \( |\vec{M_O}| = \sqrt{1154,11431 + 2748,66731} \) \( |\vec{M_O}| = \sqrt{3902,78162} \) \( |\vec{M_O}| \approx 62,47224 \) Нм. Округлим до одного знака после запятой, как обычно принято в таких задачах, если не указано иное. \( |\vec{M_O}| \approx 62,5 \) Нм. Ответ: Модуль главного момента, выбранный за центр приведения точку \(O\), равен примерно \(62,5\) Нм.