Решение задачи: Главный момент сил, приложенных к тетраэдру

Решение задачи: Нам нужно определить главный момент системы сил, приложенных к тетраэдру, относительно точки \(O\). Дано: Сила \(F_1 = 2,4\) Н. Сила \(F_2 = 1,1\) Н. Расстояния \(OA = OB = OD = 2,3\) м. Из рисунка видно, что: 1. Сила \(\vec{F_1}\) приложена в точке \(A\) и направлена вдоль оси \(z\) в положительном направлении. 2. Сила \(\vec{F_2}\) приложена в точке \(D\) и направлена вдоль оси \(z\) в отрицательном направлении. 3. Точка \(A\) лежит на оси \(x\). 4. Точка \(D\) лежит на оси \(y\). 5. Точка \(B\) лежит на оси \(z\). Определим координаты точек приложения сил и сами силы в векторной форме. Центр приведения - точка \(O\) с координатами \((0, 0, 0)\). Координаты точек: Точка \(A\): \(A = (OA, 0, 0) = (2,3, 0, 0)\) м. Точка \(D\): \(D = (0, OD, 0) = (0, 2,3, 0)\) м. Векторы сил: Сила \(\vec{F_1}\) направлена вдоль оси \(z\) вверх, поэтому: \(\vec{F_1} = (0, 0, F_1) = (0, 0, 2,4)\) Н. Сила \(\vec{F_2}\) направлена вдоль оси \(z\) вниз, поэтому: \(\vec{F_2} = (0, 0, -F_2) = (0, 0, -1,1)\) Н. Главный момент системы сил относительно точки \(O\) равен сумме моментов каждой силы относительно этой точки: \[\vec{M_O} = \vec{M_1} + \vec{M_2}\] Момент силы \(\vec{F}\) относительно точки \(O\) определяется как векторное произведение радиус-вектора \(\vec{r}\) (от точки \(O\) до точки приложения силы) на вектор силы \(\vec{F}\): \[\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\] Для силы \(\vec{F_1}\): Радиус-вектор \(\vec{r_1}\) от \(O\) до \(A\): \(\vec{r_1} = \vec{OA} = (2,3, 0, 0)\) м. Момент \(\vec{M_1}\): \[\vec{M_1} = \vec{r_1} \times \vec{F_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2,3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2,4 \end{vmatrix}\] Вычислим определитель: \(\vec{M_1} = \vec{i}(0 \cdot 2,4 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(2,3 \cdot 2,4 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(2,3 \cdot 0 - 0 \cdot 0)\) \(\vec{M_1} = \vec{i}(0) - \vec{j}(5,52) + \vec{k}(0)\) \(\vec{M_1} = (0, -5,52, 0)\) Н·м. Для силы \(\vec{F_2}\): Радиус-вектор \(\vec{r_2}\) от \(O\) до \(D\): \(\vec{r_2} = \vec{OD} = (0, 2,3, 0)\) м. Момент \(\vec{M_2}\): \[\vec{M_2} = \vec{r_2} \times \vec{F_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2,3 & 0 \\ 0 & 0 & -1,1 \end{vmatrix}\] Вычислим определитель: \(\vec{M_2} = \vec{i}(2,3 \cdot (-1,1) - 0 \cdot 0) - \vec{j}(0 \cdot (-1,1) - 0 \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot 0 - 2,3 \cdot 0)\) \(\vec{M_2} = \vec{i}(-2,53) - \vec{j}(0) + \vec{k}(0)\) \(\vec{M_2} = (-2,53, 0, 0)\) Н·м. Теперь найдем главный момент \(\vec{M_O}\) как сумму \(\vec{M_1}\) и \(\vec{M_2}\): \(\vec{M_O} = \vec{M_1} + \vec{M_2} = (0, -5,52, 0) + (-2,53, 0, 0)\) \(\vec{M_O} = (0 - 2,53, -5,52 + 0, 0 + 0)\) \(\vec{M_O} = (-2,53, -5,52, 0)\) Н·м. Ответ: Главный момент указанной системы сил относительно точки \(O\) равен \((-2,53 \vec{i} - 5,52 \vec{j})\) Н·м. Для записи в тетрадь: Задача: Определить главный момент системы сил, приложенных к тетраэдру, относительно точки \(O\). Дано: Сила \(F_1 = 2,4\) Н. Сила \(F_2 = 1,1\) Н. Расстояния \(OA = OB = OD = 2,3\) м. Решение: 1. Определим координаты точек приложения сил и сами силы в векторной форме. Центр приведения - точка \(O\) с координатами \((0, 0, 0)\). Координаты точек: Точка \(A\) лежит на оси \(x\), поэтому ее координаты: \(A = (2,3, 0, 0)\) м. Точка \(D\) лежит на оси \(y\), поэтому ее координаты: \(D = (0, 2,3, 0)\) м. 2. Векторы сил: Сила \(\vec{F_1}\) приложена в точке \(A\) и направлена вдоль оси \(z\) вверх. \(\vec{F_1} = (0, 0, F_1) = (0, 0, 2,4)\) Н. Сила \(\vec{F_2}\) приложена в точке \(D\) и направлена вдоль оси \(z\) вниз. \(\vec{F_2} = (0, 0, -F_2) = (0, 0, -1,1)\) Н. 3. Главный момент системы сил относительно точки \(O\) равен сумме моментов каждой силы относительно этой точки: \[\vec{M_O} = \vec{M_1} + \vec{M_2}\] Момент силы \(\vec{F}\) относительно точки \(O\) вычисляется по формуле: \[\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\] где \(\vec{r}\) - радиус-вектор от точки \(O\) до точки приложения силы. 4. Вычислим момент \(\vec{M_1}\) от силы \(\vec{F_1}\) относительно точки \(O\): Радиус-вектор \(\vec{r_1} = \vec{OA} = (2,3, 0, 0)\) м. \[\vec{M_1} = \vec{r_1} \times \vec{F_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2,3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2,4 \end{vmatrix}\] \(\vec{M_1} = \vec{i}(0 \cdot 2,4 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(2,3 \cdot 2,4 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(2,3 \cdot 0 - 0 \cdot 0)\) \(\vec{M_1} = 0 \vec{i} - 5,52 \vec{j} + 0 \vec{k}\) \(\vec{M_1} = (0, -5,52, 0)\) Н·м. 5. Вычислим момент \(\vec{M_2}\) от силы \(\vec{F_2}\) относительно точки \(O\): Радиус-вектор \(\vec{r_2} = \vec{OD} = (0, 2,3, 0)\) м. \[\vec{M_2} = \vec{r_2} \times \vec{F_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2,3 & 0 \\ 0 & 0 & -1,1 \end{vmatrix}\] \(\vec{M_2} = \vec{i}(2,3 \cdot (-1,1) - 0 \cdot 0) - \vec{j}(0 \cdot (-1,1) - 0 \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot 0 - 2,3 \cdot 0)\) \(\vec{M_2} = -2,53 \vec{i} - 0 \vec{j} + 0 \vec{k}\) \(\vec{M_2} = (-2,53, 0, 0)\) Н·м. 6. Найдем главный момент \(\vec{M_O}\): \(\vec{M_O} = \vec{M_1} + \vec{M_2}\) \(\vec{M_O} = (0, -5,52, 0) + (-2,53, 0, 0)\) \(\vec{M_O} = (0 - 2,53, -5,52 + 0, 0 + 0)\) \(\vec{M_O} = (-2,53, -5,52, 0)\) Н·м. Ответ: Главный момент системы сил относительно точки \(O\) равен \((-2,53 \vec{i} - 5,52 \vec{j})\) Н·м.