Задача: На куб с ребром \(a = 8,4\) м действует сила \(F = 5,1\) кН и пара сил с моментом \(M = 4,5\) кН·м. Определить главный момент в кН·м данной системы сил, приняв за центр приведения точку О.
Дано:
- Ребро куба \(a = 8,4\) м
- Сила \(F = 5,1\) кН
- Момент пары сил \(M = 4,5\) кН·м
- Центр приведения – точка О (начало координат)
Найти: Главный момент системы сил относительно точки О, \(M_O\).
Решение:
Главный момент системы сил относительно точки О определяется как сумма моментов всех сил относительно этой точки и всех моментов пар сил, действующих на систему.
В данном случае, главный момент \(M_O\) будет состоять из двух частей:
- Момент силы \(F\) относительно точки О.
- Момент пары сил \(M\).
1. Определим координаты точек и векторов.
Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы точка О была в начале координат \((0, 0, 0)\).
Из рисунка видно, что:
- Сила \(F\) приложена к вершине куба с координатами \((0, a, a)\) и направлена вдоль оси \(y\) в отрицательном направлении.
- Момент пары сил \(M\) направлен вдоль оси \(z\) в положительном направлении.
Вектор силы \(F\):
Поскольку сила \(F\) направлена вдоль оси \(y\) в отрицательном направлении, ее векторное представление будет:
\[\vec{F} = (0; -F; 0) = (0; -5,1; 0) \text{ кН}\]Радиус-вектор точки приложения силы \(F\) относительно точки О:
Точка приложения силы \(F\) имеет координаты \((0, a, a)\). Значит, радиус-вектор \(\vec{r}\) от точки О до точки приложения силы будет:
\[\vec{r} = (0; a; a) = (0; 8,4; 8,4) \text{ м}\]2. Вычислим момент силы \(F\) относительно точки О.
Момент силы \(\vec{F}\) относительно точки О вычисляется как векторное произведение радиус-вектора \(\vec{r}\) на вектор силы \(\vec{F}\):
\[\vec{M}_F = \vec{r} \times \vec{F}\] \[\vec{M}_F = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & a & a \\ 0 & -F & 0 \end{vmatrix}\] \[\vec{M}_F = \vec{i}(a \cdot 0 - a \cdot (-F)) - \vec{j}(0 \cdot 0 - a \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot (-F) - a \cdot 0)\] \[\vec{M}_F = \vec{i}(aF) - \vec{j}(0) + \vec{k}(0)\] \[\vec{M}_F = (aF; 0; 0)\]Подставим значения \(a = 8,4\) м и \(F = 5,1\) кН:
\[\vec{M}_F = (8,4 \cdot 5,1; 0; 0) = (42,84; 0; 0) \text{ кН·м}\]3. Учтем момент пары сил \(M\).
Из рисунка видно, что момент пары сил \(M\) направлен вдоль оси \(z\) в положительном направлении. Его векторное представление:
\[\vec{M} = (0; 0; M) = (0; 0; 4,5) \text{ кН·м}\]4. Определим главный момент системы сил относительно точки О.
Главный момент \(\vec{M}_O\) равен векторной сумме момента силы \(F\) и момента пары сил \(M\):
\[\vec{M}_O = \vec{M}_F + \vec{M}\] \[\vec{M}_O = (42,84; 0; 0) + (0; 0; 4,5)\] \[\vec{M}_O = (42,84; 0; 4,5) \text{ кН·м}\]Если требуется найти модуль главного момента, то:
\[|\vec{M}_O| = \sqrt{(42,84)^2 + (0)^2 + (4,5)^2}\] \[|\vec{M}_O| = \sqrt{1835,2656 + 20,25}\] \[|\vec{M}_O| = \sqrt{1855,5156}\] \[|\vec{M}_O| \approx 43,076 \text{ кН·м}\]Однако, в задаче спрашивается "главный момент", что обычно подразумевает вектор. Если бы требовался модуль, было бы указано "модуль главного момента". Поэтому ответом будет вектор.
Ответ: Главный момент данной системы сил относительно точки О составляет \(\vec{M}_O = (42,84; 0; 4,5)\) кН·м.