Задача: К кубу с ребром \(a = 1,5\) м приложена сила \(F_2 = 50\) Н и пара сил \(F_1 = F'_1 = 8,2\) Н. Приняв за центр приведения вершину А куба, определить модуль главного момента системы сил.
Дано:
- Ребро куба \(a = 1,5\) м
- Сила \(F_2 = 50\) Н
- Силы пары \(F_1 = F'_1 = 8,2\) Н
- Центр приведения – вершина А куба
Найти: Модуль главного момента системы сил относительно точки А, \(|M_A|\).
Решение:
Главный момент системы сил относительно точки А определяется как сумма моментов всех сил относительно этой точки и всех моментов пар сил, действующих на систему.
В данном случае, главный момент \(M_A\) будет состоять из двух частей:
- Момент силы \(F_2\) относительно точки А.
- Момент пары сил \(F_1, F'_1\).
1. Определим координаты точек и векторов.
Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы точка О была в начале координат \((0, 0, 0)\).
Из рисунка видно, что:
- Центр приведения – вершина А. Координаты точки А: \((a, a, a)\).
- Сила \(F_2\) приложена к вершине куба с координатами \((0, a, a)\) и направлена вдоль оси \(y\) в отрицательном направлении.
- Пара сил \(F_1\) и \(F'_1\). Сила \(F_1\) приложена к точке О \((0, 0, 0)\) и направлена вдоль оси \(z\) в положительном направлении. Сила \(F'_1\) приложена к вершине \((a, 0, 0)\) и направлена вдоль оси \(z\) в положительном направлении. Это не пара сил в классическом понимании, так как они не равны по модулю и противоположны по направлению. Однако, из рисунка видно, что \(F_1\) и \(F'_1\) образуют пару сил, где \(F_1\) направлена вверх из точки О, а \(F'_1\) направлена вверх из точки \((a, 0, 0)\). Это означает, что они равны по модулю и параллельны, но не противоположны. Вероятно, на рисунке \(F'_1\) должна быть направлена вниз, чтобы образовать пару. Но если следовать рисунку, то это две параллельные силы. Однако, в условии сказано "пара сил \(F_1 = F'_1 = 8,2\) Н", что подразумевает, что они образуют пару. Момент пары сил не зависит от центра приведения.
Вектор силы \(F_2\):
Сила \(F_2\) направлена вдоль оси \(y\) в отрицательном направлении. Ее векторное представление:
\[\vec{F}_2 = (0; -F_2; 0) = (0; -50; 0) \text{ Н}\]Радиус-вектор точки приложения силы \(F_2\) относительно точки А:
Точка приложения силы \(F_2\) имеет координаты \((0, a, a)\). Точка А имеет координаты \((a, a, a)\).
Радиус-вектор \(\vec{r}_2\) от точки А до точки приложения силы \(F_2\) будет:
\[\vec{r}_2 = (0 - a; a - a; a - a) = (-a; 0; 0) = (-1,5; 0; 0) \text{ м}\]2. Вычислим момент силы \(F_2\) относительно точки А.
Момент силы \(\vec{F}_2\) относительно точки А вычисляется как векторное произведение радиус-вектора \(\vec{r}_2\) на вектор силы \(\vec{F}_2\):
\[\vec{M}_{F_2} = \vec{r}_2 \times \vec{F}_2\] \[\vec{M}_{F_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & 0 & 0 \\ 0 & -F_2 & 0 \end{vmatrix}\] \[\vec{M}_{F_2} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot (-F_2)) - \vec{j}(-a \cdot 0 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(-a \cdot (-F_2) - 0 \cdot 0)\] \[\vec{M}_{F_2} = \vec{i}(0) - \vec{j}(0) + \vec{k}(aF_2)\] \[\vec{M}_{F_2} = (0; 0; aF_2)\]Подставим значения \(a = 1,5\) м и \(F_2 = 50\) Н:
\[\vec{M}_{F_2} = (0; 0; 1,5 \cdot 50) = (0; 0; 75) \text{ Н·м}\]3. Учтем момент пары сил \(F_1, F'_1\).
Пара сил \(F_1\) и \(F'_1\) имеет силы \(F_1 = F'_1 = 8,2\) Н. Из рисунка видно, что сила \(F_1\) приложена в точке О \((0, 0, 0)\) и направлена вдоль оси \(z\) в положительном направлении. Сила \(F'_1\) приложена в точке \((a, 0, 0)\) и направлена вдоль оси \(z\) в положительном направлении. Это не классическая пара сил, где силы должны быть противоположно направлены. Однако, если предположить, что \(F'_1\) направлена вниз (что было бы логично для пары), то момент пары будет:
Вектор силы \(F_1\): \(\vec{F}_1 = (0; 0; F_1)\)
Вектор силы \(F'_1\): \(\vec{F}'_1 = (0; 0; -F'_1)\) (если предположить, что она направлена вниз)
Радиус-вектор от точки приложения \(F_1\) до точки приложения \(F'_1\): \(\vec{r}_{11'} = (a; 0; 0)\)
Момент пары сил \(\vec{M}_{pair}\) вычисляется как \(\vec{r}_{11'} \times \vec{F}'_1\) (или \(\vec{r}_{1'1} \times \vec{F}_1\)).
Если \(F_1\) и \(F'_1\) направлены в одну сторону (как на рисунке), то это не пара сил, а две параллельные силы. В этом случае они образуют равнодействующую \(R = F_1 + F'_1\) и момент относительно любой точки. Однако, условие "пара сил \(F_1 = F'_1 = 8,2\) Н" явно указывает на пару.
Предположим, что \(F_1\) направлена вверх (как показано) и \(F'_1\) направлена вниз, чтобы образовать пару. Тогда плечо пары равно расстоянию между линиями действия сил, которое равно \(a\) (расстояние между осью \(z\) и линией \(x=a\)).
Момент пары сил \(M_{pair}\) равен произведению силы на плечо. Направление момента определяется правилом правой руки. Если \(F_1\) вверх в \((0,0,0)\) и \(F'_1\) вниз в \((a,0,0)\), то момент будет направлен вдоль оси \(y\) в отрицательном направлении.
Модуль момента пары: \(M_{pair} = F_1 \cdot a\)
\[M_{pair} = 8,2 \cdot 1,5 = 12,3 \text{ Н·м}\]
Вектор момента пары: \(\vec{M}_{pair} = (0; -M_{pair}; 0) = (0; -12,3; 0) \text{ Н·м}\)
Важное замечание: Момент пары сил не зависит от центра приведения. Он является свободным вектором.
4. Определим главный момент системы сил относительно точки А.
Главный момент \(\vec{M}_A\) равен векторной сумме момента силы \(F_2\) и момента пары сил \(M_{pair}\):
\[\vec{M}_A = \vec{M}_{F_2} + \vec{M}_{pair}\] \[\vec{M}_A = (0; 0; 75) + (0; -12,3; 0)\] \[\vec{M}_A = (0; -12,3; 75) \text{ Н·м}\]5. Вычислим модуль главного момента.
Модуль главного момента \(|M_A|\) вычисляется как:
\[|\vec{M}_A| = \sqrt{(0)^2 + (-12,3)^2 + (75)^2}\] \[|\vec{M}_A| = \sqrt{151,29 + 5625}\] \[|\vec{M}_A| = \sqrt{5776,29}\] \[|\vec{M}_A| \approx 75,99 \text{ Н·м}\]Ответ: Модуль главного момента системы сил относительно вершины А составляет примерно \(75,99\) Н·м.