Решение задачи №14 по Сопромату: Нагружение балки

Отлично, давайте решим эту задачу по сопротивлению материалов.

Задача 14

1. Перерисуйте схему нагружения балки.

Схема нагружения балки представлена на рисунке. Она включает в себя:

• Опору A (шарнирно-неподвижная).
• Опору B (шарнирно-подвижная).
• Распределенную нагрузку \(q = 15 \text{ кН/м}\) на участке длиной \(6a\).
• Сосредоточенную силу \(F = 5 \text{ кН}\) на конце балки.
• Сосредоточенный момент \(M = 4 \text{ кН} \cdot \text{м}\) на консольном участке слева от опоры A.
• Размеры участков: \(5a\), \(6a\), \(4a\).
• Значение \(a = 0.2 \text{ м}\).

Для удобства расчетов переведем все длины в метры:

• Длина левого консольного участка: \(L_1 = 5a = 5 \cdot 0.2 = 1 \text{ м}\).
• Длина участка между опорами A и C: \(L_2 = 6a = 6 \cdot 0.2 = 1.2 \text{ м}\).
• Длина правого консольного участка: \(L_3 = 4a = 4 \cdot 0.2 = 0.8 \text{ м}\).

Общая длина балки: \(L = L_1 + L_2 + L_3 = 1 + 1.2 + 0.8 = 3 \text{ м}\).

Схема балки с указанием всех нагрузок и размеров:

(Здесь должна быть перерисованная схема балки с указанием всех нагрузок, опор и размеров, как на исходном рисунке, но с численными значениями длин.)

2. Укажите на схеме предположительное направление реакций опор A и B.

• Опора A (шарнирно-неподвижная) имеет две реакции: вертикальную \(R_A\) и горизонтальную \(H_A\). Предположим, что \(R_A\) направлена вверх, а \(H_A\) вправо.
• Опора B (шарнирно-подвижная) имеет одну вертикальную реакцию \(R_B\). Предположим, что \(R_B\) направлена вверх.

(На перерисованной схеме необходимо стрелками указать эти реакции.)

3. Составьте уравнения равновесия и определите величину и направление реакций опор \(R_A\) и \(R_B\).

Для определения реакций опор используем три уравнения статики для плоской системы сил:

1. Сумма проекций всех сил на горизонтальную ось равна нулю: \(\sum F_x = 0\).
2. Сумма проекций всех сил на вертикальную ось равна нулю: \(\sum F_y = 0\).
3. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю: \(\sum M = 0\).

Шаг 1: Уравнение равновесия по горизонтали.

На балку действуют только вертикальные силы и моменты, поэтому горизонтальная реакция \(H_A\) будет равна нулю.

\[ \sum F_x = 0 \Rightarrow H_A = 0 \]

Шаг 2: Уравнение равновесия по вертикали.

Примем направление вверх за положительное.

Распределенная нагрузка \(q\) на участке длиной \(L_2 = 1.2 \text{ м}\) эквивалентна сосредоточенной силе \(Q_{экв} = q \cdot L_2 = 15 \text{ кН/м} \cdot 1.2 \text{ м} = 18 \text{ кН}\). Эта сила приложена в середине участка, то есть на расстоянии \(L_1 + L_2/2 = 1 + 1.2/2 = 1 + 0.6 = 1.6 \text{ м}\) от левого конца балки.

\[ \sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - Q_{экв} - F = 0 \] \[ R_A + R_B - 18 \text{ кН} - 5 \text{ кН} = 0 \] \[ R_A + R_B = 23 \text{ кН} \quad (1) \]

Шаг 3: Уравнение равновесия моментов.

Возьмем сумму моментов относительно точки A. Примем вращение по часовой стрелке за положительное.

Момент от сосредоточенного момента \(M\): \(M = 4 \text{ кН} \cdot \text{м}\) (против часовой стрелки, поэтому со знаком минус).

Момент от эквивалентной силы \(Q_{экв}\): \(Q_{экв} \cdot (L_2/2) = 18 \text{ кН} \cdot 0.6 \text{ м} = 10.8 \text{ кН} \cdot \text{м}\) (по часовой стрелке, поэтому со знаком плюс).

Момент от силы \(F\): \(F \cdot (L_2 + L_3) = 5 \text{ кН} \cdot (1.2 + 0.8) \text{ м} = 5 \text{ кН} \cdot 2 \text{ м} = 10 \text{ кН} \cdot \text{м}\) (по часовой стрелке, поэтому со знаком плюс).

Момент от реакции \(R_B\): \(R_B \cdot L_2 = R_B \cdot 1.2 \text{ м}\) (против часовой стрелки, поэтому со знаком минус).

\[ \sum M_A = 0 \Rightarrow -M + Q_{экв} \cdot (L_2/2) + F \cdot (L_2 + L_3) - R_B \cdot L_2 = 0 \] \[ -4 \text{ кН} \cdot \text{м} + 18 \text{ кН} \cdot 0.6 \text{ м} + 5 \text{ кН} \cdot 2 \text{ м} - R_B \cdot 1.2 \text{ м} = 0 \] \[ -4 + 10.8 + 10 - 1.2 R_B = 0 \] \[ 16.8 - 1.2 R_B = 0 \] \[ 1.2 R_B = 16.8 \] \[ R_B = \frac{16.8}{1.2} = 14 \text{ кН} \]

Шаг 4: Определение \(R_A\).

Подставим значение \(R_B\) в уравнение (1):

\[ R_A + 14 \text{ кН} = 23 \text{ кН} \] \[ R_A = 23 - 14 = 9 \text{ кН} \]

Результаты:

• \(H_A = 0\)
• \(R_A = 9 \text{ кН}\) (направлена вверх, как и предполагалось)
• \(R_B = 14 \text{ кН}\) (направлена вверх, как и предполагалось)

4. Проверьте правильность решения, используя уравнение моментов сил относительно точки C.

Точка C находится на правом конце участка с распределенной нагрузкой, то есть на расстоянии \(L_1 + L_2 = 1 + 1.2 = 2.2 \text{ м}\) от левого конца балки.

Возьмем сумму моментов относительно точки C. Примем вращение по часовой стрелке за положительное.

Момент от сосредоточенного момента \(M\): \(M = 4 \text{ кН} \cdot \text{м}\) (против часовой стрелки, поэтому со знаком минус).

Момент от реакции \(R_A\): \(R_A \cdot L_2 = 9 \text{ кН} \cdot 1.2 \text{ м} = 10.8 \text{ кН} \cdot \text{м}\) (по часовой стрелке, поэтому со знаком плюс).

Момент от эквивалентной силы \(Q_{экв}\): \(Q_{экв} \cdot (L_2/2) = 18 \text{ кН} \cdot 0.6 \text{ м} = 10.8 \text{ кН} \cdot \text{м}\) (против часовой стрелки, поэтому со знаком минус).

Момент от реакции \(R_B\): \(R_B \cdot L_3 = 14 \text{ кН} \cdot 0.8 \text{ м} = 11.2 \text{ кН} \cdot \text{м}\) (против часовой стрелки, поэтому со знаком минус).

Момент от силы \(F\): \(F \cdot L_3 = 5 \text{ кН} \cdot 0.8 \text{ м} = 4 \text{ кН} \cdot \text{м}\) (по часовой стрелке, поэтому со знаком плюс).

\[ \sum M_C = 0 \Rightarrow -M + R_A \cdot L_2 - Q_{экв} \cdot (L_2/2) - R_B \cdot L_3 + F \cdot L_3 = 0 \] \[ -4 + 9 \cdot 1.2 - 18 \cdot 0.6 - 14 \cdot 0.8 + 5 \cdot 0.8 = 0 \] \[ -4 + 10.8 - 10.8 - 11.2 + 4 = 0 \] \[ 0 = 0 \]

Уравнение равновесия моментов относительно точки C выполняется, что подтверждает правильность определения реакций опор.

5. Используя метод сечений, постройте эпюры поперечных сил \(Q\) и изгибающих моментов \(M\), действующих в поперечных сечениях балки.

Разделим балку на участки по характерным точкам (места приложения сил, моментов, начала и конца распределенных нагрузок, опор).

Характерные точки: левый конец балки (0), опора A (1 м), конец распределенной нагрузки (2.2 м), опора B (2.2 м + 0.8 м = 3 м), правый конец балки (3 м).

Участки:

1. Участок I: от левого конца до опоры A (\(0 \le x < 1 \text{ м}\)).
2. Участок II: от опоры A до конца распределенной нагрузки (\(1 \text{ м} \le x < 2.2 \text{ м}\)).
3. Участок III: от конца распределенной нагрузки до опоры B (\(2.2 \text{ м} \le x < 3 \text{ м}\)).
4. Участок IV: от опоры B до правого конца балки (\(3 \text{ м} \le x \le 3 \text{ м}\)). (Этот участок фактически является точкой приложения силы F, но для построения эпюр удобно рассмотреть его как очень короткий участок после опоры B).

Для построения эпюр будем использовать метод сечений, рассматривая левую часть балки.

Участок I: \(0 \le x < 1 \text{ м}\)

В этом участке действует сосредоточенный момент \(M = 4 \text{ кН} \cdot \text{м}\) (против часовой стрелки).

Поперечная сила \(Q(x)\): На этом участке нет поперечных сил, поэтому \(Q(x) = 0\).

Изгибающий момент \(M(x)\): Момент \(M\) создает изгибающий момент. Если смотреть слева, момент против часовой стрелки считается положительным для изгибающего момента.

\[ M(x) = M = 4 \text{ кН} \cdot \text{м} \]

Начало участка (\(x=0\)): \(Q(0) = 0\), \(M(0) = 4 \text{ кН} \cdot \text{м}\).
Конец участка (\(x=1\)): \(Q(1) = 0\), \(M(1) = 4 \text{ кН} \cdot \text{м}\).

Участок II: \(1 \text{ м} \le x < 2.2 \text{ м}\)

Начало отсчета \(x\) от левого конца балки.

Поперечная сила \(Q(x)\):

Включаем реакцию \(R_A\) (вверх, поэтому со знаком плюс) и распределенную нагрузку \(q\) (вниз, поэтому со знаком минус).

\[ Q(x) = R_A - q \cdot (x - 1) \] \[ Q(x) = 9 - 15 \cdot (x - 1) \]

Начало участка (\(x=1\)): \(Q(1) = 9 - 15 \cdot (1 - 1) = 9 \text{ кН}\).

Конец участка (\(x=2.2\)): \(Q(2.2) = 9 - 15 \cdot (2.2 - 1) = 9 - 15 \cdot 1.2 = 9 - 18 = -9 \text{ кН}\).

Изгибающий момент \(M(x)\):

Включаем сосредоточенный момент \(M\), момент от реакции \(R_A\) и момент от распределенной нагрузки \(q\).

\[ M(x) = M - R_A \cdot (x - 1) + q \cdot (x - 1) \cdot \frac{x - 1}{2} \] \[ M(x) = 4 - 9 \cdot (x - 1) + 15 \cdot \frac{(x - 1)^2}{2} \]

Начало участка (\(x=1\)): \(M(1) = 4 - 9 \cdot (1 - 1) + 15 \cdot \frac{(1 - 1)^2}{2} = 4 \text{ кН} \cdot \text{м}\).

Конец участка (\(x=2.2\)): \(M(2.2) = 4 - 9 \cdot (2.2 - 1) + 15 \cdot \frac{(2.2 - 1)^2}{2} = 4 - 9 \cdot 1.2 + 15 \cdot \frac{1.2^2}{2} = 4 - 10.8 + 15 \cdot \frac{1.44}{2} = 4 - 10.8 + 15 \cdot 0.72 = 4 - 10.8 + 10.8 = 4 \text{ кН} \cdot \text{м}\).

Найдем точку, где \(Q(x) = 0\):

\[ 9 - 15 \cdot (x - 1) = 0 \] \[ 15 \cdot (x - 1) = 9 \] \[ x - 1 = \frac{9}{15} = 0.6 \] \[ x = 1.6 \text{ м} \]

В этой точке изгибающий момент будет максимальным или минимальным:

\[ M(1.6) = 4 - 9 \cdot (1.6 - 1) + 15 \cdot \frac{(1.6 - 1)^2}{2} = 4 - 9 \cdot 0.6 + 15 \cdot \frac{0.6^2}{2} = 4 - 5.4 + 15 \cdot \frac{0.36}{2} = 4 - 5.4 + 15 \cdot 0.18 = 4 - 5.4 + 2.7 = 1.3 \text{ кН} \cdot \text{м}\].

Участок III: \(2.2 \text{ м