Решение задачи: определение модуля главного момента

Решим задачу по определению модуля главного момента от пары сил и силы. Дано: Момент пары сил \(M = 8 \text{ Н} \cdot \text{м}\) Сила \(F = 26 \text{ Н}\) Углы: \(\beta = \gamma = 60^\circ\) Размеры: \(b = 2a = c = 2 \text{ м}\) Требуется определить модуль главного момента в центре приведения \(A\). Решение: 1. Определим координаты точки \(A\) и точки приложения силы \(F\). Из рисунка видно, что начало координат \(O\) находится в одном из углов параллелепипеда. Точка \(A\) находится на верхнем ребре, параллельном оси \(y\). Координаты точки \(A\): \(A(0, b, c)\). Подставим значения: \(b = 2 \text{ м}\), \(c = 2 \text{ м}\). Значит, \(A(0, 2, 2)\). Сила \(F\) приложена в точке с координатами \(P(a, b, c)\). Из условия \(b = 2a = c = 2 \text{ м}\) следует, что \(a = b/2 = 2/2 = 1 \text{ м}\). Значит, точка приложения силы \(F\) имеет координаты \(P(1, 2, 2)\). 2. Определим радиус-вектор \(\vec{r}_{AP}\) от точки приведения \(A\) до точки приложения силы \(F\). \(\vec{r}_{AP} = \vec{P} - \vec{A} = (1 - 0)\vec{i} + (2 - 2)\vec{j} + (2 - 2)\vec{k} = 1\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}\) \(\vec{r}_{AP} = (1, 0, 0)\) 3. Определим проекции силы \(F\) на оси координат. Сила \(F\) направлена из точки \(P(a, b, c)\). Угол \(\beta\) - это угол между силой \(F\) и осью \(y\). Угол \(\gamma\) - это угол между силой \(F\) и осью \(z\). Угол \(\alpha\) - это угол между силой \(F\) и осью \(x\). Мы знаем, что \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1\). \(\cos^2 \alpha + \cos^2 60^\circ + \cos^2 60^\circ = 1\) \(\cos^2 \alpha + (0.5)^2 + (0.5)^2 = 1\) \(\cos^2 \alpha + 0.25 + 0.25 = 1\) \(\cos^2 \alpha + 0.5 = 1\) \(\cos^2 \alpha = 0.5\) \(\cos \alpha = \pm \sqrt{0.5} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\) По направлению вектора \(F\) на рисунке видно, что проекция на ось \(x\) положительна, а на оси \(y\) и \(z\) отрицательны (или наоборот, если смотреть от точки приложения). Однако, углы \(\beta\) и \(\gamma\) даны как углы между вектором силы и положительными направлениями осей. Из рисунка видно, что сила \(F\) направлена в сторону увеличения \(x\), уменьшения \(y\) и уменьшения \(z\). Тогда: \(F_x = F \cos \alpha\) \(F_y = F \cos \beta\) \(F_z = F \cos \gamma\) Если углы \(\beta\) и \(\gamma\) - это углы между вектором силы и положительными направлениями осей, то: \(\cos \beta = \cos 60^\circ = 0.5\) \(\cos \gamma = \cos 60^\circ = 0.5\) \(\cos \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma} = \sqrt{1 - 0.25 - 0.25} = \sqrt{0.5} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) Тогда проекции силы \(F\): \(F_x = F \cos \alpha = 26 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 13\sqrt{2} \text{ Н}\) \(F_y = F \cos \beta = 26 \cdot 0.5 = 13 \text{ Н}\) \(F_z = F \cos \gamma = 26 \cdot 0.5 = 13 \text{ Н}\) Вектор силы \(\vec{F} = (13\sqrt{2}, 13, 13)\). Однако, если внимательно посмотреть на рисунок, углы \(\beta\) и \(\gamma\) показаны как углы между вектором силы и *отрицательными* направлениями осей \(y\) и \(z\) (или же сила направлена в сторону уменьшения \(y\) и \(z\)). Предположим, что \(\beta\) и \(\gamma\) - это углы между вектором силы и *положительными* направлениями осей, но из-за направления стрелки силы, проекции на \(y\) и \(z\) будут отрицательными. Тогда: \(F_x = F \cos \alpha = 13\sqrt{2} \text{ Н}\) \(F_y = -F \cos \beta = -13 \text{ Н}\) (так как сила направлена против оси \(y\)) \(F_z = -F \cos \gamma = -13 \text{ Н}\) (так как сила направлена против оси \(z\)) Вектор силы \(\vec{F} = (13\sqrt{2}, -13, -13)\). Будем использовать этот вариант, так как он лучше соответствует изображению. 4. Определим момент силы \(\vec{F}\) относительно точки \(A\). \(\vec{M}_A(\vec{F}) = \vec{r}_{AP} \times \vec{F}\) \(\vec{r}_{AP} = (1, 0, 0)\) \(\vec{F} = (13\sqrt{2}, -13, -13)\) \[ \vec{M}_A(\vec{F}) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 13\sqrt{2} & -13 & -13 \end{vmatrix} \] \(\vec{M}_A(\vec{F}) = \vec{i} (0 \cdot (-13) - 0 \cdot (-13)) - \vec{j} (1 \cdot (-13) - 0 \cdot 13\sqrt{2}) + \vec{k} (1 \cdot (-13) - 0 \cdot 13\sqrt{2})\) \(\vec{M}_A(\vec{F}) = \vec{i} (0) - \vec{j} (-13) + \vec{k} (-13)\) \(\vec{M}_A(\vec{F}) = (0, 13, -13)\) 5. Определим вектор момента пары сил \(\vec{M}\). Момент пары сил \(\vec{M}\) направлен вдоль оси \(z\) в положительном направлении. \(\vec{M} = (0, 0, M) = (0, 0, 8)\) 6. Определим главный момент \(\vec{M}_A\) в центре приведения \(A\). Главный момент равен сумме момента пары сил и момента силы относительно точки \(A\). \(\vec{M}_A = \vec{M} + \vec{M}_A(\vec{F})\) \(\vec{M}_A = (0, 0, 8) + (0, 13, -13)\) \(\vec{M}_A = (0 + 0, 0 + 13, 8 - 13)\) \(\vec{M}_A = (0, 13, -5)\) 7. Определим модуль главного момента \(|\vec{M}_A|\). \(|\vec{M}_A| = \sqrt{M_{Ax}^2 + M_{Ay}^2 + M_{Az}^2}\) \(|\vec{M}_A| = \sqrt{0^2 + 13^2 + (-5)^2}\) \(|\vec{M}_A| = \sqrt{0 + 169 + 25}\) \(|\vec{M}_A| = \sqrt{194}\) Вычислим значение: \(\sqrt{194} \approx 13.928\) Округлим до двух знаков после запятой: \(13.93\) Ответ: Модуль главного момента в центре приведения \(A\) равен \(13.93 \text{ Н} \cdot \text{м}\). Для удобства переписывания в тетрадь: Задача: В центре приведения \(A\) определить модуль главного момента от пары сил с моментом \(M = 8 \text{ Н} \cdot \text{м}\) и силы \(F = 26 \text{ Н}\), если \(\beta = \gamma = 60^\circ\) и \(b = 2a = c = 2 \text{ м}\). Дано: 1. Момент пары сил \(M = 8 \text{ Н} \cdot \text{м}\) (направлен по оси \(z\)). 2. Сила \(F = 26 \text{ Н}\). 3. Углы: \(\beta = 60^\circ\), \(\gamma = 60^\circ\). 4. Размеры: \(b = 2 \text{ м}\), \(c = 2 \text{ м}\). Из \(b = 2a\) следует \(a = b/2 = 2/2 = 1 \text{ м}\). Найти: Модуль главного момента \(|\vec{M}_A|\). Решение: 1. Определим координаты точек. Начало координат \(O\) находится в углу параллелепипеда. Точка приведения \(A\) имеет координаты \(A(0, b, c)\). Подставляем значения: \(A(0, 2, 2)\). Точка приложения силы \(F\) (обозначим её \(P\)) имеет координаты \(P(a, b, c)\). Подставляем значения: \(P(1, 2, 2)\). 2. Определим радиус-вектор \(\vec{r}_{AP}\) от точки \(A\) до точки \(P\). \(\vec{r}_{AP} = \vec{P} - \vec{A} = (1 - 0)\vec{i} + (2 - 2)\vec{j} + (2 - 2)\vec{k} = 1\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}\). \(\vec{r}_{AP} = (1, 0, 0)\). 3. Определим проекции силы \(\vec{F}\) на оси координат. Углы \(\beta\) и \(\gamma\) даны как \(60^\circ\). Найдем угол \(\alpha\) между силой \(F\) и осью \(x\): \(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1\) \(\cos^2 \alpha + \cos^2 60^\circ + \cos^2 60^\circ = 1\) \(\cos^2 \alpha + (0.5)^2 + (0.5)^2 = 1\) \(\cos^2 \alpha + 0.25 + 0.25 = 1\) \(\cos^2 \alpha = 0.5\) \(\cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (положительное направление по оси \(x\) согласно рисунку). Проекции силы \(F\): \(F_x = F \cos \alpha = 26 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 13\sqrt{2} \text{ Н}\). Из рисунка видно, что сила \(F\) направлена против осей \(y\) и \(z\). \(F_y = -F \cos \beta = -26 \cdot 0.5 = -13 \text{ Н}\). \(F_z = -F \cos \gamma = -26 \cdot 0.5 = -13 \text{ Н}\). Вектор силы \(\vec{F} = (13\sqrt{2}, -13, -13)\). 4. Определим момент силы \(\vec{F}\) относительно точки \(A\). \(\vec{M}_A(\vec{F}) = \vec{r}_{AP} \times \vec{F}\) \[ \vec{M}_A(\vec{F}) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 13\sqrt{2} & -13 & -13 \end{vmatrix} \] \(\vec{M}_A(\vec{F}) = \vec{i} (0 \cdot (-13) - 0 \cdot (-13)) - \vec{j} (1 \cdot (-13) - 0 \cdot 13\sqrt{2}) + \vec{k} (1 \cdot (-13) - 0 \cdot 13\sqrt{2})\) \(\vec{M}_A(\vec{F}) = 0\vec{i} + 13\vec{j} - 13\vec{k}\). \(\vec{M}_A(\vec{F}) = (0, 13, -13)\). 5. Определим вектор момента пары сил \(\vec{M}\). Момент пары сил \(M = 8 \text{ Н} \cdot \text{м}\) направлен вдоль положительной оси \(z\). \(\vec{M} = (0, 0, 8)\). 6. Определим главный момент \(\vec{M}_A\) в центре приведения \(A\). \(\vec{M}_A = \vec{M} + \vec{M}_A(\vec{F})\) \(\vec{M}_A = (0, 0, 8) + (0, 13, -13)\) \(\vec{M}_A = (0, 13, -5)\). 7. Определим модуль главного момента \(|\vec{M}_A|\). \(|\vec{M}_A| = \sqrt{M_{Ax}^2 + M_{Ay}^2 + M_{Az}^2}\) \(|\vec{M}_A| = \sqrt{0^2 + 13^2 + (-5)^2}\) \(|\vec{M}_A| = \sqrt{0 + 169 + 25}\) \(|\vec{M}_A| = \sqrt{194}\). \(|\vec{M}_A| \approx 13.928388\) Округляем до двух знаков после запятой: \(|\vec{M}_A| \approx 13.93 \text{ Н} \cdot \text{м}\). Ответ: \(13.93\)