Практическая работа
на применение формул двойного угла
(15-19 формулы в файле)
Формулы двойного угла
15) \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha\)
16) \(\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\)
17) \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2 \sin^2 \alpha\)
18) \(\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1-\operatorname{tg}^2 \alpha}, \alpha \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)
19) \(\operatorname{ctg} 2\alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\operatorname{ctg} \alpha}, \alpha \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}\)
!!!Работа выполняется в рабочей тетради, решение является обязательным!!!
Задание 1. Используя формулы двойного угла, упростите выражения:
1) \(\frac{\sin 2t}{\cos t} - \sin t\)
Используем формулу \(\sin 2t = 2 \sin t \cos t\):
\(\frac{2 \sin t \cos t}{\cos t} - \sin t = 2 \sin t - \sin t = \sin t\)
2) \(\frac{\sin 6t}{\cos^2 3t}\)
Используем формулу \(\sin 6t = 2 \sin 3t \cos 3t\):
\(\frac{2 \sin 3t \cos 3t}{\cos^2 3t} = \frac{2 \sin 3t}{\cos 3t} = 2 \operatorname{tg} 3t\)
3) \(\cos^2 t - \cos 2t\)
Используем формулу \(\cos 2t = 2 \cos^2 t - 1\):
\(\cos^2 t - (2 \cos^2 t - 1) = \cos^2 t - 2 \cos^2 t + 1 = 1 - \cos^2 t = \sin^2 t\)
4) \(\frac{\cos t - \sin t}{\sin 40^\circ} - \sin t\)
В этом выражении нет формул двойного угла, которые можно применить для упрощения. Возможно, в условии опечатка или выражение неполное. Если это часть более сложной задачи, то нужно больше информации. В текущем виде упростить нельзя.
5) \(\frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ}\)
Используем формулу \(\sin 40^\circ = 2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ\):
\(\frac{2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 2 \cos 20^\circ\)
6) \(\frac{\sin 100^\circ}{2 \cos 50^\circ}\)
Используем формулу \(\sin 100^\circ = 2 \sin 50^\circ \cos 50^\circ\):
\(\frac{2 \sin 50^\circ \cos 50^\circ}{2 \cos 50^\circ} = \sin 50^\circ\)
7) \(\frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ}\)
В этом выражении нет формул двойного угла, которые можно применить для упрощения. Возможно, в условии опечатка или выражение неполное. В текущем виде упростить нельзя.
8) \(\frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}\)
Используем формулу \(\cos 36^\circ = 1 - 2 \sin^2 18^\circ\):
\(\frac{1 - 2 \sin^2 18^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{1 - \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{\cos^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \cos 18^\circ\)
9) \(\frac{\sin t}{2 \cos^2 \left(\frac{t}{2}\right)}\)
Используем формулу \(\sin t = 2 \sin \left(\frac{t}{2}\right) \cos \left(\frac{t}{2}\right)\):
\(\frac{2 \sin \left(\frac{t}{2}\right) \cos \left(\frac{t}{2}\right)}{2 \cos^2 \left(\frac{t}{2}\right)} = \frac{\sin \left(\frac{t}{2}\right)}{\cos \left(\frac{t}{2}\right)} = \operatorname{tg} \left(\frac{t}{2}\right)\)
10) \(\frac{\sin 4t}{\cos 2t}\)
Используем формулу \(\sin 4t = 2 \sin 2t \cos 2t\):
\(\frac{2 \sin 2t \cos 2t}{\cos 2t} = 2 \sin 2t\)
Задание 2. Найдите значения выражения, используя формулы двойного угла:
1) \(2 \sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ\)
Используем формулу \(2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha\):
\(2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin (2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
2) \((\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2\)
Раскроем квадрат разности:
\(\cos^2 75^\circ - 2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ + \sin^2 75^\circ\)
Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) и формулу \(2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha\):
\((\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) - 2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ = 1 - \sin (2 \cdot 75^\circ) = 1 - \sin 150^\circ\)
\(\sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
\(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
3) \(\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ\)
Используем формулу \(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha\):
\(\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos (2 \cdot 15^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
4) \((\cos 15^\circ - \sin 15^\circ)^2\)
Раскроем квадрат разности:
\(\cos^2 15^\circ - 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ + \sin^2 15^\circ\)
Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) и формулу \(2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha\):
\((\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ) - 2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = 1 - \sin (2 \cdot 15^\circ) = 1 - \sin 30^\circ\)
\(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
5) \(2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8}\)
Используем формулу \(2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha\):
\(2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
6) \(\sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}\)
Умножим и разделим первое слагаемое на 2:
\(\frac{1}{2} (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}) + \frac{1}{4}\)
Используем формулу \(2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha\):
\(\frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2} + 1}{4}\)
7) \(\cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2 \left(\frac{\pi}{8}\right)\)
Используем формулу \(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha\):
\(\cos^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2 \left(\frac{\pi}{8}\right) = \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
8) \(\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8}\right)^2\)
Раскроем квадрат суммы:
\(\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(\cos^2 \frac{\pi}{8} + 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8}\right)\)
Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) и формулу \(2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha\):
\(\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(1 + \sin \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(1 + \sin \frac{\pi}{4}\right)\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = -1\)
9) \(\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{8}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{8}}\)
Используем формулу \(\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha\):
\(\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{8}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{8}} = \operatorname{tg} \left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1\)
10) \(\frac{2 \operatorname{tg} 75^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ}\)
Используем формулу \(\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha\):
\(\frac{2 \operatorname{tg} 75^\circ}{1 - \operatorname{tg}^2 75^\circ} = \operatorname{tg} (2 \cdot 75^\circ) = \operatorname{tg} 150^\circ\)
\(\operatorname{tg} 150^\circ = \operatorname{tg} (180^\circ - 30^\circ) = -\operatorname{tg} 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)