Решение задачи: Главный момент сил для куба

Решение задачи: На куб с ребром \(a = 9\) м действуют две силы: \(F_1 = 9,6\) Н и \(F_2 = 2,9\) Н. Определить модуль главного момента, выбрав за центр приведения точку \(O\). Дано: Ребро куба \(a = 9\) м Сила \(F_1 = 9,6\) Н Сила \(F_2 = 2,9\) Н Центр приведения – точка \(O\) Найти: Модуль главного момента \(M_O\) Решение: 1. Определим координаты точек приложения сил и их направления. Из рисунка видно, что точка \(O\) является началом координат \((0, 0, 0)\). Сила \(F_1\) приложена к вершине куба, лежащей на оси \(x\). Координаты этой точки: \(A = (a, 0, 0)\). Сила \(F_1\) направлена вдоль оси \(x\) в отрицательном направлении. Вектор силы \(F_1\) можно записать как \(\vec{F_1} = (-F_1, 0, 0)\). Сила \(F_2\) приложена к вершине куба, лежащей в плоскости \(yz\). Координаты этой точки: \(B = (0, a, a)\). Сила \(F_2\) направлена вдоль оси \(y\) в положительном направлении. Вектор силы \(F_2\) можно записать как \(\vec{F_2} = (0, F_2, 0)\). 2. Найдем радиус-векторы точек приложения сил относительно центра приведения \(O\). Радиус-вектор для силы \(F_1\): \(\vec{r_1} = \vec{OA} = (a, 0, 0)\). Радиус-вектор для силы \(F_2\): \(\vec{r_2} = \vec{OB} = (0, a, a)\). 3. Вычислим моменты сил относительно точки \(O\). Момент силы \(\vec{F_1}\) относительно точки \(O\): \[\vec{M_1} = \vec{r_1} \times \vec{F_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & 0 \\ -F_1 & 0 & 0 \end{vmatrix}\] \[\vec{M_1} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(a \cdot 0 - 0 \cdot (-F_1)) + \vec{k}(a \cdot 0 - 0 \cdot (-F_1)) = 0\vec{i} - 0\vec{j} + 0\vec{k} = (0, 0, 0)\] Момент силы \(F_1\) равен нулю, так как линия действия силы \(F_1\) проходит через точку \(O\). Момент силы \(\vec{F_2}\) относительно точки \(O\): \[\vec{M_2} = \vec{r_2} \times \vec{F_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & a & a \\ 0 & F_2 & 0 \end{vmatrix}\] \[\vec{M_2} = \vec{i}(a \cdot 0 - a \cdot F_2) - \vec{j}(0 \cdot 0 - a \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot F_2 - a \cdot 0)\] \[\vec{M_2} = \vec{i}(-aF_2) - \vec{j}(0) + \vec{k}(0) = (-aF_2, 0, 0)\] 4. Найдем главный момент системы сил относительно точки \(O\). Главный момент \(\vec{M_O}\) равен векторной сумме моментов всех сил: \[\vec{M_O} = \vec{M_1} + \vec{M_2} = (0, 0, 0) + (-aF_2, 0, 0) = (-aF_2, 0, 0)\] 5. Вычислим модуль главного момента. \[|\vec{M_O}| = \sqrt{(-aF_2)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{(aF_2)^2} = aF_2\] Подставим числовые значения: \(a = 9\) м \(F_2 = 2,9\) Н \[|\vec{M_O}| = 9 \text{ м} \cdot 2,9 \text{ Н} = 26,1 \text{ Н} \cdot \text{м}\] Ответ: Модуль главного момента равен \(26,1\) Н\( \cdot \)м.