Решение задачи: главный момент сил в тетраэдре

Решение задачи: К тетраэдру приложены вертикальная сила \(F_1 = 2,4\) Н и сила \(F_2 = 1,1\) Н. Определить главный момент указанной системы сил, приняв за центр приведения точку \(O\), если \(OA = OB = OD = 2,3\) м. Дано: Сила \(F_1 = 2,4\) Н Сила \(F_2 = 1,1\) Н Расстояния \(OA = OB = OD = 2,3\) м Центр приведения – точка \(O\) Найти: Модуль главного момента \(M_O\) Решение: 1. Определим координаты точек приложения сил и их направления. Точка \(O\) является началом координат \((0, 0, 0)\). Точка \(A\) лежит на оси \(x\). Координаты точки \(A = (OA, 0, 0) = (2,3, 0, 0)\). Сила \(F_1\) приложена в точке \(A\) и является вертикальной. Из рисунка видно, что она направлена вверх, то есть вдоль оси \(z\) в положительном направлении. Вектор силы \(F_1\) можно записать как \(\vec{F_1} = (0, 0, F_1) = (0, 0, 2,4)\) Н. Точка \(D\) лежит на оси \(y\). Координаты точки \(D = (0, OD, 0) = (0, 2,3, 0)\). Точка \(B\) лежит на оси \(z\). Координаты точки \(B = (0, 0, OB) = (0, 0, 2,3)\). Сила \(F_2\) приложена в точке \(D\) и направлена к точке \(B\). Вектор силы \(F_2\) направлен вдоль вектора \(\vec{DB}\). Вектор \(\vec{DB} = \vec{OB} - \vec{OD} = (0, 0, 2,3) - (0, 2,3, 0) = (0, -2,3, 2,3)\). Модуль вектора \(\vec{DB}\): \(|\vec{DB}| = \sqrt{0^2 + (-2,3)^2 + (2,3)^2} = \sqrt{2 \cdot (2,3)^2} = 2,3\sqrt{2}\) м. Единичный вектор направления силы \(F_2\): \(\vec{e_{F_2}} = \frac{\vec{DB}}{|\vec{DB}|} = \frac{(0, -2,3, 2,3)}{2,3\sqrt{2}} = (0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})\). Вектор силы \(F_2\): \(\vec{F_2} = F_2 \cdot \vec{e_{F_2}} = 1,1 \cdot (0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}) = (0, -\frac{1,1}{\sqrt{2}}, \frac{1,1}{\sqrt{2}})\) Н. 2. Найдем радиус-векторы точек приложения сил относительно центра приведения \(O\). Радиус-вектор для силы \(F_1\): \(\vec{r_1} = \vec{OA} = (2,3, 0, 0)\) м. Радиус-вектор для силы \(F_2\): \(\vec{r_2} = \vec{OD} = (0, 2,3, 0)\) м. 3. Вычислим моменты сил относительно точки \(O\). Момент силы \(\vec{F_1}\) относительно точки \(O\): \[\vec{M_1} = \vec{r_1} \times \vec{F_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2,3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2,4 \end{vmatrix}\] \[\vec{M_1} = \vec{i}(0 \cdot 2,4 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(2,3 \cdot 2,4 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(2,3 \cdot 0 - 0 \cdot 0)\] \[\vec{M_1} = 0\vec{i} - (2,3 \cdot 2,4)\vec{j} + 0\vec{k} = (0, -5,52, 0)\] Н\( \cdot \)м. Момент силы \(\vec{F_2}\) относительно точки \(O\): \[\vec{M_2} = \vec{r_2} \times \vec{F_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2,3 & 0 \\ 0 & -\frac{1,1}{\sqrt{2}} & \frac{1,1}{\sqrt{2}} \end{vmatrix}\] \[\vec{M_2} = \vec{i}(2,3 \cdot \frac{1,1}{\sqrt{2}} - 0 \cdot (-\frac{1,1}{\sqrt{2}})) - \vec{j}(0 \cdot \frac{1,1}{\sqrt{2}} - 0 \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot (-\frac{1,1}{\sqrt{2}}) - 2,3 \cdot 0)\] \[\vec{M_2} = \vec{i}(\frac{2,3 \cdot 1,1}{\sqrt{2}}) - 0\vec{j} + 0\vec{k} = (\frac{2,53}{\sqrt{2}}, 0, 0)\] Н\( \cdot \)м. Приближенное значение: \(\frac{2,53}{\sqrt{2}} \approx \frac{2,53}{1,414} \approx 1,789\) Н\( \cdot \)м. Тогда \(\vec{M_2} \approx (1,789, 0, 0)\) Н\( \cdot \)м. 4. Найдем главный момент системы сил относительно точки \(O\). Главный момент \(\vec{M_O}\) равен векторной сумме моментов всех сил: \[\vec{M_O} = \vec{M_1} + \vec{M_2} = (0, -5,52, 0) + (\frac{2,53}{\sqrt{2}}, 0, 0) = (\frac{2,53}{\sqrt{2}}, -5,52, 0)\] Н\( \cdot \)м. Или в приближенном виде: \(\vec{M_O} \approx (1,789, -5,52, 0)\) Н\( \cdot \)м. 5. Вычислим модуль главного момента. \[|\vec{M_O}| = \sqrt{(\frac{2,53}{\sqrt{2}})^2 + (-5,52)^2 + 0^2}\] \[|\vec{M_O}| = \sqrt{\frac{2,53^2}{2} + 5,52^2}\] \[|\vec{M_O}| = \sqrt{\frac{6,4009}{2} + 30,4704}\] \[|\vec{M_O}| = \sqrt{3,20045 + 30,4704}\] \[|\vec{M_O}| = \sqrt{33,67085}\] \[|\vec{M_O}| \approx 5,80266\] Н\( \cdot \)м. Округлим до двух знаков после запятой: \(5,80\) Н\( \cdot \)м. Ответ: Модуль главного момента равен \(5,80\) Н\( \cdot \)м.