Решение задачи: Главный момент системы сил для куба

Решение задачи: На куб с ребром \(a = 8,4\) м действует сила \(F = 5,1\) кН и пара сил с моментом \(M = 4,5\) кН\( \cdot \)м. Определить главный момент в кН\( \cdot \)м данной системы сил, приняв за центр приведения точку \(O\). Дано: Ребро куба \(a = 8,4\) м Сила \(F = 5,1\) кН Момент пары сил \(M = 4,5\) кН\( \cdot \)м Центр приведения – точка \(O\) Найти: Модуль главного момента \(M_O\) в кН\( \cdot \)м Решение: 1. Определим координаты точки приложения силы \(F\) и ее направление. Точка \(O\) является началом координат \((0, 0, 0)\). Сила \(\vec{F}\) приложена к вершине куба, лежащей в плоскости \(xz\). Координаты этой точки: \(A = (0, 0, a)\). Из рисунка видно, что сила \(\vec{F}\) направлена вдоль оси \(y\) в отрицательном направлении. Вектор силы \(\vec{F}\) можно записать как \(\vec{F} = (0, -F, 0) = (0, -5,1, 0)\) кН. 2. Найдем радиус-вектор точки приложения силы \(\vec{F}\) относительно центра приведения \(O\). Радиус-вектор для силы \(\vec{F}\): \(\vec{r_F} = \vec{OA} = (0, 0, a) = (0, 0, 8,4)\) м. 3. Вычислим момент силы \(\vec{F}\) относительно точки \(O\). \[\vec{M_F} = \vec{r_F} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & a \\ 0 & -F & 0 \end{vmatrix}\] \[\vec{M_F} = \vec{i}(0 \cdot 0 - a \cdot (-F)) - \vec{j}(0 \cdot 0 - a \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot (-F) - 0 \cdot 0)\] \[\vec{M_F} = \vec{i}(aF) - 0\vec{j} + 0\vec{k} = (aF, 0, 0)\] кН\( \cdot \)м. Подставим числовые значения: \(a = 8,4\) м \(F = 5,1\) кН \[\vec{M_F} = (8,4 \cdot 5,1, 0, 0) = (42,84, 0, 0)\] кН\( \cdot \)м. 4. Определим вектор момента пары сил \(\vec{M}\). Из рисунка видно, что пара сил \(\vec{M}\) действует в плоскости \(yz\) и направлена вдоль оси \(z\) в положительном направлении. Вектор момента пары сил \(\vec{M}\) можно записать как \(\vec{M} = (0, 0, M) = (0, 0, 4,5)\) кН\( \cdot \)м. Важно отметить, что момент пары сил является свободным вектором и не зависит от выбора центра приведения. 5. Найдем главный момент системы сил относительно точки \(O\). Главный момент \(\vec{M_O}\) равен векторной сумме моментов всех сил и моментов всех пар сил: \[\vec{M_O} = \vec{M_F} + \vec{M}\] \[\vec{M_O} = (42,84, 0, 0) + (0, 0, 4,5) = (42,84, 0, 4,5)\] кН\( \cdot \)м. 6. Вычислим модуль главного момента. \[|\vec{M_O}| = \sqrt{42,84^2 + 0^2 + 4,5^2}\] \[|\vec{M_O}| = \sqrt{1835,2656 + 20,25}\] \[|\vec{M_O}| = \sqrt{1855,5156}\] \[|\vec{M_O}| \approx 43,0757\] кН\( \cdot \)м. Округлим до двух знаков после запятой: \(43,08\) кН\( \cdot \)м. Ответ: Модуль главного момента равен \(43,08\) кН\( \cdot \)м.