Решение задачи: Главный момент системы сил для куба

Решение задачи: К кубу с ребром \(a = 1,5\) м приложена сила \(F_2 = 50\) Н и пара сил \(F_1 = F'_1 = 8,2\) Н. Приняв за центр приведения вершину \(A\) куба, определить модуль главного момента системы сил. Дано: Ребро куба \(a = 1,5\) м Сила \(F_2 = 50\) Н Силы пары \(F_1 = F'_1 = 8,2\) Н Центр приведения – вершина \(A\) Найти: Модуль главного момента \(M_A\) Решение: 1. Определим координаты вершин куба, исходя из того, что точка \(O\) является началом координат \((0, 0, 0)\). Вершина \(A\) находится на оси \(z\). Координаты \(A = (0, 0, a) = (0, 0, 1,5)\) м. Центр приведения – точка \(A\). Сила \(\vec{F_2}\) приложена к вершине куба, лежащей в плоскости \(xy\). Координаты этой точки: \(B = (a, a, 0) = (1,5, 1,5, 0)\) м. Из рисунка видно, что сила \(\vec{F_2}\) направлена вдоль оси \(x\) в отрицательном направлении. Вектор силы \(\vec{F_2}\) можно записать как \(\vec{F_2} = (-F_2, 0, 0) = (-50, 0, 0)\) Н. Пара сил состоит из двух сил \(\vec{F_1}\) и \(\vec{F'_1}\). Сила \(\vec{F_1}\) приложена в точке \(O = (0, 0, 0)\) и направлена вдоль оси \(z\) в отрицательном направлении. Вектор силы \(\vec{F_1} = (0, 0, -F_1) = (0, 0, -8,2)\) Н. Сила \(\vec{F'_1}\) приложена к вершине куба, лежащей на оси \(y\). Координаты этой точки: \(C = (0, a, 0) = (0, 1,5, 0)\) м. Сила \(\vec{F'_1}\) направлена вдоль оси \(z\) в положительном направлении. Вектор силы \(\vec{F'_1} = (0, 0, F'_1) = (0, 0, 8,2)\) Н. 2. Найдем радиус-векторы точек приложения сил относительно центра приведения \(A\). Радиус-вектор для силы \(\vec{F_2}\): \(\vec{r_2} = \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (1,5, 1,5, 0) - (0, 0, 1,5) = (1,5, 1,5, -1,5)\) м. Радиус-вектор для силы \(\vec{F_1}\): \(\vec{r_1} = \vec{AO} = \vec{OO} - \vec{OA} = (0, 0, 0) - (0, 0, 1,5) = (0, 0, -1,5)\) м. Радиус-вектор для силы \(\vec{F'_1}\): \(\vec{r'_1} = \vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (0, 1,5, 0) - (0, 0, 1,5) = (0, 1,5, -1,5)\) м. 3. Вычислим моменты сил относительно точки \(A\). Момент силы \(\vec{F_2}\) относительно точки \(A\): \[\vec{M_2} = \vec{r_2} \times \vec{F_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1,5 & 1,5 & -1,5 \\ -50 & 0 & 0 \end{vmatrix}\] \[\vec{M_2} = \vec{i}(1,5 \cdot 0 - (-1,5) \cdot 0) - \vec{j}(1,5 \cdot 0 - (-1,5) \cdot (-50)) + \vec{k}(1,5 \cdot 0 - 1,5 \cdot (-50))\] \[\vec{M_2} = \vec{i}(0) - \vec{j}(0 - 75) + \vec{k}(0 + 75) = (0, 75, 75)\] Н\( \cdot \)м. Момент силы \(\vec{F_1}\) относительно точки \(A\): \[\vec{M_1} = \vec{r_1} \times \vec{F_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -1,5 \\ 0 & 0 & -8,2 \end{vmatrix}\] \[\vec{M_1} = \vec{i}(0 \cdot (-8,2) - (-1,5) \cdot 0) - \vec{j}(0 \cdot (-8,2) - (-1,5) \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 0) = (0, 0, 0)\] Н\( \cdot \)м. Момент силы \(\vec{F_1}\) равен нулю, так как линия действия силы \(\vec{F_1}\) проходит через точку \(A\). Момент силы \(\vec{F'_1}\) относительно точки \(A\): \[\vec{M'_1} = \vec{r'_1} \times \vec{F'_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1,5 & -1,5 \\ 0 & 0 & 8,2 \end{vmatrix}\] \[\vec{M'_1} = \vec{i}(1,5 \cdot 8,2 - (-1,5) \cdot 0) - \vec{j}(0 \cdot 8,2 - (-1,5) \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot 0 - 1,5 \cdot 0)\] \[\vec{M'_1} = \vec{i}(12,3) - 0\vec{j} + 0\vec{k} = (12,3, 0, 0)\] Н\( \cdot \)м. 4. Найдем главный момент системы сил относительно точки \(A\). Главный момент \(\vec{M_A}\) равен векторной сумме моментов всех сил: \[\vec{M_A} = \vec{M_2} + \vec{M_1} + \vec{M'_1}\] \[\vec{M_A} = (0, 75, 75) + (0, 0, 0) + (12,3, 0, 0) = (12,3, 75, 75)\] Н\( \cdot \)м. 5. Вычислим модуль главного момента. \[|\vec{M_A}| = \sqrt{12,3^2 + 75^2 + 75^2}\] \[|\vec{M_A}| = \sqrt{151,29 + 5625 + 5625}\] \[|\vec{M_A}| = \sqrt{11401,29}\] \[|\vec{M_A}| \approx 106,7768\] Н\( \cdot \)м. Округлим до двух знаков после запятой: \(106,78\) Н\( \cdot \)м. Ответ: Модуль главного момента равен \(106,78\) Н\( \cdot \)м.