Задача: К кубу с ребром \(a = 1,5\) м приложена сила \(F_2 = 50\) Н и пара сил \(F_1 = F_1' = 8,2\) Н. Приняв за центр приведения вершину \(A\) куба, определить модуль главного момента системы сил.
Дано:
- Ребро куба \(a = 1,5\) м
- Сила \(F_2 = 50\) Н
- Пара сил \(F_1 = F_1' = 8,2\) Н
- Центр приведения – вершина \(A\)
Найти: Модуль главного момента \(M_A\).
Решение:
Главный момент системы сил относительно центра приведения \(A\) равен сумме моментов всех сил и моментов всех пар сил относительно этого центра.
\[\vec{M}_A = \sum (\vec{r}_i \times \vec{F}_i) + \sum \vec{M}_{пар}\]
В данной задаче у нас есть одна сила \(F_2\) и одна пара сил \(F_1, F_1'\).
1. Момент от силы \(F_2\):
Сила \(F_2\) приложена к вершине куба, которая находится на оси \(z\) на расстоянии \(a\) от начала координат, и направлена вдоль диагонали верхней грани куба. Однако, на рисунке видно, что сила \(F_2\) приложена к вершине, которая является центром приведения \(A\). Если сила приложена в центре приведения, то ее момент относительно этого центра равен нулю.
По рисунку, вершина \(A\) - это верхняя правая дальняя вершина куба. Сила \(F_2\) приложена к вершине, которая находится на оси \(z\) (верхняя левая дальняя вершина). Центр приведения \(A\) - это верхняя правая дальняя вершина. Сила \(F_2\) направлена от верхней левой дальней вершины к верхней правой ближней вершине.
Давайте уточним координаты вершин и векторов сил, исходя из рисунка. Пусть начало координат \(O\) находится в центре нижней грани куба.
Тогда координаты вершин куба будут:
- Нижние вершины: \(( \pm a/2, \pm a/2, 0)\)
- Верхние вершины: \(( \pm a/2, \pm a/2, a)\)
Однако, на рисунке система координат расположена так, что начало координат \(O\) находится в одной из вершин куба (нижняя левая дальняя). Давайте примем эту систему координат.
Пусть \(O\) - начало координат \((0, 0, 0)\).
Вершины куба:
- \(O = (0, 0, 0)\)
- Вершина, к которой приложена \(F_2\): \((0, 0, a)\) (верхняя левая дальняя)
- Вершина \(A\), центр приведения: \((a, a, a)\) (верхняя правая ближняя)
- Вершина, к которой приложена \(F_1\): \((a/2, a/2, 0)\) (центр нижней грани)
- Вершина, к которой приложена \(F_1'\): \((a/2, a/2, a)\) (центр верхней грани)
На рисунке центр приведения обозначен как \(A\), и это верхняя правая дальняя вершина. Сила \(F_2\) приложена к верхней левой дальней вершине. Вектор силы \(F_2\) направлен от верхней левой дальней вершины к верхней правой ближней вершине.
Давайте переопределим координаты для удобства, чтобы центр приведения \(A\) был в начале координат, или чтобы его координаты были легко определяемы.
Пусть начало координат \(O\) находится в нижней левой дальней вершине куба.
Тогда координаты вершин:
- \(O = (0, 0, 0)\)
- Вершина, к которой приложена \(F_2\): \(P_2 = (0, 0, a)\)
- Вершина \(A\) (центр приведения): \((a, a, a)\) (верхняя правая ближняя)
- Вершина, к которой приложена \(F_1\): \((a/2, a/2, 0)\) (центр нижней грани)
- Вершина, к которой приложена \(F_1'\): \((a/2, a/2, a)\) (центр верхней грани)
Вектор радиус-вектора от центра приведения \(A\) до точки приложения силы \(F_2\):
\[\vec{r}_{A,F_2} = \vec{P}_2 - \vec{A} = (0, 0, a) - (a, a, a) = (-a, -a, 0)\]
Вектор силы \(F_2\) направлен от точки \((0, 0, a)\) к точке \((a, a, a)\) (верхняя правая ближняя).
\[\vec{F}_2 = F_2 \cdot \frac{(a, a, a) - (0, 0, a)}{\left| (a, a, a) - (0, 0, a) \right|} = F_2 \cdot \frac{(a, a, 0)}{\sqrt{a^2 + a^2 + 0^2}} = F_2 \cdot \frac{(a, a, 0)}{\sqrt{2a^2}} = F_2 \cdot \frac{(a, a, 0)}{a\sqrt{2}} = \frac{F_2}{\sqrt{2}} (1, 1, 0)\]
\[\vec{F}_2 = \left( \frac{F_2}{\sqrt{2}}, \frac{F_2}{\sqrt{2}}, 0 \right)\]
Момент силы \(F_2\) относительно точки \(A\):
\[\vec{M}_{A,F_2} = \vec{r}_{A,F_2} \times \vec{F}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & -a & 0 \\ \frac{F_2}{\sqrt{2}} & \frac{F_2}{\sqrt{2}} & 0 \end{vmatrix}\]
\[\vec{M}_{A,F_2} = \vec{i}(-a \cdot 0 - 0 \cdot \frac{F_2}{\sqrt{2}}) - \vec{j}(-a \cdot 0 - 0 \cdot \frac{F_2}{\sqrt{2}}) + \vec{k}(-a \cdot \frac{F_2}{\sqrt{2}} - (-a) \cdot \frac{F_2}{\sqrt{2}})\]
\[\vec{M}_{A,F_2} = \vec{i}(0) - \vec{j}(0) + \vec{k}(-\frac{aF_2}{\sqrt{2}} + \frac{aF_2}{\sqrt{2}}) = \vec{0}\]
Момент силы \(F_2\) относительно точки \(A\) равен нулю. Это означает, что линия действия силы \(F_2\) проходит через точку \(A\).
Давайте перепроверим рисунок. Сила \(F_2\) приложена к верхней левой дальней вершине. Центр приведения \(A\) - это верхняя правая дальняя вершина. Вектор \(F_2\) направлен от верхней левой дальней вершины к верхней правой ближней вершине. Линия действия силы \(F_2\) не проходит через точку \(A\).
Давайте внимательнее посмотрим на рисунок и обозначения.
Пусть начало координат \(O\) находится в центре нижней грани куба. Тогда оси \(x\) и \(y\) лежат в плоскости нижней грани, а ось \(z\) направлена вверх.
Координаты вершин куба:
- Нижние: \(( \pm a/2, \pm a/2, 0)\)
- Верхние: \(( \pm a/2, \pm a/2, a)\)
На рисунке, однако, \(O\) находится в одной из вершин куба (нижняя левая дальняя). Давайте придерживаться этой системы координат.
Пусть \(O = (0, 0, 0)\) - нижняя левая дальняя вершина.
Тогда:
- Вершина \(A\) (центр приведения) - верхняя правая ближняя вершина: \((a, a, a)\).
- Точка приложения силы \(F_2\) - верхняя левая дальняя вершина: \(P_{F_2} = (0, 0, a)\).
- Вектор силы \(F_2\) направлен от \(P_{F_2}\) к верхней правой ближней вершине \((a, a, a)\).
Вектор силы \(F_2\):
\[\vec{F}_2 = F_2 \cdot \frac{(a, a, a) - (0, 0, a)}{\left| (a, a, a) - (0, 0, a) \right|} = F_2 \cdot \frac{(a, a, 0)}{\sqrt{a^2 + a^2}} = F_2 \cdot \frac{(a, a, 0)}{a\sqrt{2}} = \left( \frac{F_2}{\sqrt{2}}, \frac{F_2}{\sqrt{2}}, 0 \right)\]
Радиус-вектор от центра приведения \(A\) до точки приложения силы \(F_2\):
\[\vec{r}_{A,F_2} = \vec{P}_{F_2} - \vec{A} = (0, 0, a) - (a, a, a) = (-a, -a, 0)\]
Момент силы \(F_2\) относительно точки \(A\):
\[\vec{M}_{A,F_2} = \vec{r}_{A,F_2} \times \vec{F}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & -a & 0 \\ \frac{F_2}{\sqrt{2}} & \frac{F_2}{\sqrt{2}} & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0) - \vec{j}(0) + \vec{k}(-a \cdot \frac{F_2}{\sqrt{2}} - (-a) \cdot \frac{F_2}{\sqrt{2}}) = \vec{0}\]
Это все еще ноль. Это означает, что точка \(A\) лежит на линии действия силы \(F_2\). Но по рисунку это не так. Сила \(F_2\) направлена по диагонали верхней грани, а точка \(A\) - это одна из вершин этой грани. Если \(F_2\) направлена от \((0,0,a)\) к \((a,a,a)\), то \(A\) - это конечная точка вектора \(F_2\). Если \(A\) - это конечная точка вектора \(F_2\), то радиус-вектор от \(A\) до точки приложения \(F_2\) будет \(\vec{r}_{A,F_2} = (0,0,a) - (a,a,a) = (-a, -a, 0)\). А сам вектор силы \(F_2\) будет \((a,a,0)\). Тогда момент будет равен нулю.
Давайте внимательнее посмотрим на обозначения на рисунке. Центр приведения обозначен как \(A\). Сила \(F_2\) приложена к вершине, которая находится на оси \(z\) (верхняя левая дальняя). Вектор \(F_2\) направлен от этой вершины к вершине \(A\). Если это так, то момент силы \(F_2\) относительно \(A\) равен нулю, так как точка \(A\) лежит на линии действия силы \(F_2\).
Однако, обычно в таких задачах, если сила приложена к одной вершине, а центр приведения - другая, то момент не равен нулю. Возможно, я неправильно интерпретирую рисунок.
Давайте предположим, что центр приведения \(A\) - это верхняя правая дальняя вершина \((a, 0, a)\) (если ось \(y\) направлена вправо, а ось \(x\) - вперед). Но на рисунке ось \(x\) направлена вперед, ось \(y\) вправо, ось \(z\) вверх. Тогда \(A\) - это \((a, a, a)\).
Сила \(F_2\) приложена к вершине \((0, 0, a)\) (верхняя левая дальняя). Вектор \(F_2\) направлен от \((0, 0, a)\) к \((a, a, a)\) (верхняя правая ближняя).
\[\vec{r}_{A,F_2} = (0, 0, a) - (a, a, a) = (-a, -a, 0)\]
\[\vec{F}_2 = \left( \frac{F_2}{\sqrt{2}}, \frac{F_2}{\sqrt{2}}, 0 \right)\]
Момент \(\vec{M}_{A,F_2} = \vec{0}\).
Это очень странно. Возможно, центр приведения \(A\) - это не та вершина, к которой направлена \(F_2\). На рисунке \(A\) - это верхняя правая ближняя вершина. Сила \(F_2\) приложена к верхней левой дальней вершине. Вектор \(F_2\) направлен от верхней левой дальней вершины к верхней правой ближней вершине. Тогда \(A\) - это конечная точка вектора \(F_2\). Если центр приведения \(A\) совпадает с конечной точкой вектора силы, то момент силы относительно \(A\) равен нулю.
Давайте перечитаем условие: "Приняв за центр приведения вершину \(A\) куба". На рисунке вершина \(A\) обозначена как верхняя правая ближняя вершина. Сила \(F_2\) приложена к верхней левой дальней вершине и направлена к вершине \(A\). В этом случае момент силы \(F_2\) относительно \(A\) действительно равен нулю.
2. Момент от пары сил \(F_1, F_1'\):
Пара сил \(F_1\) и \(F_1'\) имеет одинаковый модуль \(F_1 = F_1' = 8,2\) Н.
Сила \(F_1\) приложена к центру нижней грани куба и направлена вниз (вдоль отрицательной оси \(z\)).
Сила \(F_1'\) приложена к центру верхней грани куба и направлена вверх (вдоль положительной оси \(z\)).
Плечо пары сил \(h\) - это расстояние между линиями действия сил. В данном случае, линии действия сил \(F_1\) и \(F_1'\) параллельны оси \(z\). Расстояние между ними равно расстоянию между центрами нижней и верхней граней, которое равно \(a\).
Момент пары сил \(\vec{M}_{пар}\) определяется как векторное произведение радиус-вектора, соединяющего точки приложения сил, на одну из сил, или как произведение модуля силы на плечо, с учетом направления.
\[M_{пар} = F_1 \cdot h\]
\[M_{пар} = F_1 \cdot a\]
Направление момента пары сил: Сила \(F_1\) направлена вниз, \(F_1'\) направлена вверх. Они образуют пару, которая стремится повернуть куб вокруг оси, перпендикулярной плоскости, образованной силами. Если смотреть сверху, \(F_1\) направлена вниз, \(F_1'\) вверх. Они приложены в центре граней. Вектор \(F_1\) направлен по \((0, 0, -1)\). Вектор \(F_1'\) направлен по \((0, 0, 1)\).
Пусть точка приложения \(F_1\) - \(P_1 = (a/2, a/2, 0)\). Пусть точка приложения \(F_1'\) - \(P_1' = (a/2, a/2, a)\).
Вектор, соединяющий точки приложения сил: \(\vec{r}_{1'1} = \vec{P