Решение задачи
Дано:
- Ребро куба \(a = 1,5\) м
- Сила \(F_2 = 50\) Н
- Пара сил \(F_1 = F_1' = 8,2\) Н
- Центр приведения – вершина \(A\) куба.
Найти:
- Модуль главного момента системы сил \(M_A\).
Ход решения:
Для определения главного момента системы сил относительно точки \(A\), нам нужно найти моменты каждой силы и пары сил относительно этой точки, а затем сложить их векторно.
Сначала определим координаты вершин куба, если начало координат \(O\) находится в центре нижней грани, как показано на рисунке. Ось \(x\) направлена вдоль ребра, ось \(y\) вдоль другого ребра, а ось \(z\) вверх.
Координаты точки \(O\) (центр нижней грани): \((0, 0, 0)\).
Координаты вершины \(A\) (верхняя грань, противоположная \(O\) по диагонали): \((a/2, a/2, a)\).
Однако, на рисунке показано, что начало координат \(O\) находится в центре нижней грани, а оси \(x\) и \(y\) направлены вдоль рёбер, выходящих из этой грани. Вершина \(A\) находится на верхней грани. Давайте уточним координаты, исходя из рисунка.
Предположим, что начало координат \(O\) находится в центре нижней грани. Тогда:
- Координаты точки \(O\): \((0, 0, 0)\).
- Координаты вершины, из которой выходит сила \(F_2\) (на рисунке это верхняя левая задняя вершина): \((-a/2, -a/2, a)\).
- Координаты вершины, из которой выходит сила \(F_1'\) (на рисунке это верхняя правая передняя вершина): \((a/2, a/2, a)\).
- Координаты точки приложения силы \(F_1\) (центр нижней грани): \((0, 0, 0)\).
- Координаты вершины \(A\) (верхняя правая задняя вершина): \((a/2, -a/2, a)\).
Давайте переопределим систему координат для удобства. Пусть начало координат находится в одной из вершин куба, например, в той, что на рисунке обозначена как "нижняя левая задняя". Тогда:
- Начало координат: \((0, 0, 0)\).
- Вершина \(A\) (верхняя правая задняя): \((a, 0, a)\).
- Точка приложения силы \(F_2\) (верхняя левая задняя): \((0, 0, a)\).
- Точка приложения силы \(F_1'\) (верхняя правая передняя): \((a, a, a)\).
- Точка приложения силы \(F_1\) (центр нижней грани): \((a/2, a/2, 0)\).
Это более удобно для расчётов. Теперь определим векторы сил и радиус-векторы точек приложения сил относительно точки \(A\).
1. Момент силы \(F_2\):
Сила \(F_2\) направлена вдоль оси \(y\) в положительном направлении. Точка приложения силы \(F_2\) – это вершина с координатами \((0, 0, a)\).
Вектор силы \( \vec{F_2} = (0, F_2, 0) = (0, 50, 0) \) Н.
Радиус-вектор от точки \(A\) до точки приложения \(F_2\):
\( \vec{r_2} = (0 - a, 0 - 0, a - a) = (-a, 0, 0) = (-1,5, 0, 0) \) м.
Момент силы \(F_2\) относительно точки \(A\):
\( \vec{M_2} = \vec{r_2} \times \vec{F_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & 0 & 0 \\ 0 & F_2 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot F_2) - \vec{j}(-a \cdot 0 - 0 \cdot 0) + \vec{k}(-a \cdot F_2 - 0 \cdot 0) = (0, 0, -a F_2) \)
\( \vec{M_2} = (0, 0, -1,5 \cdot 50) = (0, 0, -75) \) Н·м.
2. Момент пары сил \(F_1\) и \(F_1'\):
Пара сил состоит из \(F_1\) и \(F_1'\). Сила \(F_1\) направлена вниз (вдоль оси \(z\) в отрицательном направлении), а сила \(F_1'\) направлена вверх (вдоль оси \(z\) в положительном направлении).
Вектор силы \( \vec{F_1} = (0, 0, -F_1) = (0, 0, -8,2) \) Н.
Вектор силы \( \vec{F_1'} = (0, 0, F_1') = (0, 0, 8,2) \) Н.
Точка приложения \(F_1\) – центр нижней грани: \((a/2, a/2, 0)\).
Точка приложения \(F_1'\) – верхняя правая передняя вершина: \((a, a, a)\).
Момент пары сил можно найти как \( \vec{M_{пары}} = \vec{r} \times \vec{F_1'} \), где \( \vec{r} \) – вектор, соединяющий точку приложения \(F_1\) с точкой приложения \(F_1'\).
\( \vec{r} = (a - a/2, a - a/2, a - 0) = (a/2, a/2, a) = (0,75, 0,75, 1,5) \) м.
Момент пары сил:
\( \vec{M_{пары}} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a/2 & a/2 & a \\ 0 & 0 & F_1' \end{vmatrix} = \vec{i}(a/2 \cdot F_1' - a \cdot 0) - \vec{j}(a/2 \cdot F_1' - a \cdot 0) + \vec{k}(a/2 \cdot 0 - a/2 \cdot 0) \)
\( \vec{M_{пары}} = (a/2 \cdot F_1', -a/2 \cdot F_1', 0) \)
\( \vec{M_{пары}} = (1,5/2 \cdot 8,2, -1,5/2 \cdot 8,2, 0) = (0,75 \cdot 8,2, -0,75 \cdot 8,2, 0) \)
\( \vec{M_{пары}} = (6,15, -6,15, 0) \) Н·м.
3. Главный момент системы сил относительно точки \(A\):
Главный момент \( \vec{M_A} \) – это векторная сумма всех моментов:
\( \vec{M_A} = \vec{M_2} + \vec{M_{пары}} \)
\( \vec{M_A} = (0, 0, -75) + (6,15, -6,15, 0) = (6,15, -6,15, -75) \) Н·м.
4. Модуль главного момента:
Модуль вектора \( \vec{M_A} \) вычисляется по формуле:
\( |\vec{M_A}| = \sqrt{M_{Ax}^2 + M_{Ay}^2 + M_{Az}^2} \)
\( |\vec{M_A}| = \sqrt{(6,15)^2 + (-6,15)^2 + (-75)^2} \)
\( |\vec{M_A}| = \sqrt{37,8225 + 37,8225 + 5625} \)
\( |\vec{M_A}| = \sqrt{75,645 + 5625} \)
\( |\vec{M_A}| = \sqrt{5700,645} \)
\( |\vec{M_A}| \approx 75,5026 \) Н·м.
Округлим до двух знаков после запятой:
\( |\vec{M_A}| \approx 75,50 \) Н·м.
Ответ:
Модуль главного момента системы сил относительно вершины \(A\) составляет примерно \(75,50\) Н·м.