Решение задачи: определение модуля главного момента силы

Решение задачи: Нам нужно определить модуль главного момента от пары сил и силы в центре приведения A. Дано: Момент пары сил \( \vec{M} \) с модулем \( M = 8 \text{ Н} \cdot \text{м} \). Сила \( \vec{F} \) с модулем \( F = 26 \text{ Н} \). Углы, определяющие направление силы \( \vec{F} \): \( \beta = \gamma = 60^\circ \). Размеры параллелепипеда: \( b = 2a = c = 2 \text{ м} \). Сначала определим координаты точки A и точки приложения силы \( \vec{F} \). Из рисунка видно, что начало координат O находится в центре нижней грани. Точка A находится на верхней грани, над началом координат O. Следовательно, координаты точки A: \( A = (0, 0, c) \). По условию \( c = 2 \text{ м} \), значит \( A = (0, 0, 2) \text{ м} \). Точка приложения силы \( \vec{F} \) находится в правом верхнем углу параллелепипеда. Координаты этой точки: \( P = (a, b, c) \). По условию \( b = 2 \text{ м} \) и \( c = 2 \text{ м} \). Также \( 2a = c \), значит \( 2a = 2 \text{ м} \), откуда \( a = 1 \text{ м} \). Следовательно, координаты точки приложения силы \( \vec{F} \): \( P = (1, 2, 2) \text{ м} \). Теперь определим вектор \( \vec{M} \). Из рисунка видно, что вектор \( \vec{M} \) направлен вдоль оси z вверх. Значит, \( \vec{M} = (0, 0, M) = (0, 0, 8) \text{ Н} \cdot \text{м} \). Далее определим компоненты вектора силы \( \vec{F} \). Углы \( \alpha, \beta, \gamma \) - это углы между вектором \( \vec{F} \) и осями x, y, z соответственно. Нам даны \( \beta = 60^\circ \) и \( \gamma = 60^\circ \). Мы знаем, что сумма квадратов косинусов направляющих углов равна единице: \[ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \] Подставим известные значения: \[ \cos^2 \alpha + \cos^2 60^\circ + \cos^2 60^\circ = 1 \] \[ \cos^2 \alpha + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \] \[ \cos^2 \alpha + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 \] \[ \cos^2 \alpha + \frac{1}{2} = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] \[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Из рисунка видно, что сила \( \vec{F} \) направлена в сторону положительных осей x, y, z. Поэтому \( \cos \alpha \) должен быть положительным. \[ \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Теперь найдем компоненты вектора силы \( \vec{F} \): \[ F_x = F \cos \alpha = 26 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 13\sqrt{2} \text{ Н} \] \[ F_y = F \cos \beta = 26 \cdot \cos 60^\circ = 26 \cdot \frac{1}{2} = 13 \text{ Н} \] \[ F_z = F \cos \gamma = 26 \cdot \cos 60^\circ = 26 \cdot \frac{1}{2} = 13 \text{ Н} \] Таким образом, вектор силы \( \vec{F} = (13\sqrt{2}, 13, 13) \text{ Н} \). Главный момент \( \vec{M}_A \) в центре приведения A состоит из двух частей: 1. Момент пары сил \( \vec{M} \). 2. Момент силы \( \vec{F} \) относительно точки A. Главный момент \( \vec{M}_A = \vec{M} + \vec{M}_{F,A} \). Момент силы \( \vec{F} \) относительно точки A вычисляется как векторное произведение радиус-вектора \( \vec{r}_{AP} \) от точки A до точки приложения силы P на вектор силы \( \vec{F} \). \[ \vec{r}_{AP} = \vec{P} - \vec{A} = (1, 2, 2) - (0, 0, 2) = (1, 2, 0) \text{ м} \] Теперь вычислим \( \vec{M}_{F,A} = \vec{r}_{AP} \times \vec{F} \): \[ \vec{M}_{F,A} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 13\sqrt{2} & 13 & 13 \end{vmatrix} \] \[ \vec{M}_{F,A} = \vec{i}(2 \cdot 13 - 0 \cdot 13) - \vec{j}(1 \cdot 13 - 0 \cdot 13\sqrt{2}) + \vec{k}(1 \cdot 13 - 2 \cdot 13\sqrt{2}) \] \[ \vec{M}_{F,A} = \vec{i}(26) - \vec{j}(13) + \vec{k}(13 - 26\sqrt{2}) \] \[ \vec{M}_{F,A} = (26, -13, 13 - 26\sqrt{2}) \text{ Н} \cdot \text{м} \] Теперь сложим векторы \( \vec{M} \) и \( \vec{M}_{F,A} \), чтобы получить главный момент \( \vec{M}_A \): \[ \vec{M}_A = \vec{M} + \vec{M}_{F,A} = (0, 0, 8) + (26, -13, 13 - 26\sqrt{2}) \] \[ \vec{M}_A = (0 + 26, 0 - 13, 8 + 13 - 26\sqrt{2}) \] \[ \vec{M}_A = (26, -13, 21 - 26\sqrt{2}) \text{ Н} \cdot \text{м} \] Теперь вычислим модуль главного момента \( |\vec{M}_A| \): \[ |\vec{M}_A| = \sqrt{26^2 + (-13)^2 + (21 - 26\sqrt{2})^2} \] Вычислим значения: \( 26^2 = 676 \) \( (-13)^2 = 169 \) \( 21 - 26\sqrt{2} \approx 21 - 26 \cdot 1.4142 \approx 21 - 36.7692 \approx -15.7692 \) \( (21 - 26\sqrt{2})^2 \approx (-15.7692)^2 \approx 248.66 \) Точное значение \( (21 - 26\sqrt{2})^2 = 21^2 - 2 \cdot 21 \cdot 26\sqrt{2} + (26\sqrt{2})^2 \) \( = 441 - 1092\sqrt{2} + 26^2 \cdot 2 \) \( = 441 - 1092\sqrt{2} + 676 \cdot 2 \) \( = 441 - 1092\sqrt{2} + 1352 \) \( = 1793 - 1092\sqrt{2} \) Теперь подставим это в формулу для модуля: \[ |\vec{M}_A| = \sqrt{676 + 169 + (1793 - 1092\sqrt{2})} \] \[ |\vec{M}_A| = \sqrt{845 + 1793 - 1092\sqrt{2}} \] \[ |\vec{M}_A| = \sqrt{2638 - 1092\sqrt{2}} \] Используем приближенное значение \( \sqrt{2} \approx 1.41421356 \): \( 1092\sqrt{2} \approx 1092 \cdot 1.41421356 \approx 1544.259 \) \[ |\vec{M}_A| = \sqrt{2638 - 1544.259} \] \[ |\vec{M}_A| = \sqrt{1093.741} \] \[ |\vec{M}_A| \approx 33.07 \text{ Н} \cdot \text{м} \] Округлим до двух знаков после запятой. Ответ: Модуль главного момента в центре приведения A составляет примерно \( 33.07 \text{ Н} \cdot \text{м} \).